空气动力学基本方程
53页1、20112011 年秋季学期年秋季学期 空气动力学空气动力学 空气动力学基本方程空气动力学基本方程 清华大学气动研究室清华大学气动研究室 20112011 年年 1010 月月 6 6 日日 目录目录 空气动力学基本方程 . 4 1 摘要 . 4 2 欧拉方程 4 2.1 欧拉方程基本形式 4 2.1.1 摘要 4 2.1.2 构成与对象 . 4 2.1.3 欧拉方程 4 2.2 欧拉方程的几种形式 5 2.2.1 守恒形式 5 2.2.2 原始变量形式 . 7 2.2.3 拉格朗日形式 . 7 2.2.4 不可压缩流动 . 8 2.2.5 能量守恒方程的几种形式 9 2.3 欧拉方程的数学推导 11 2.3.1 说明 11 2.3.2 相关文献 12 2.4 欧拉方程的作用 12 2.4.1 说明 12 2.4.2 欧拉方程求解 . 12 3 NS 方程 12 3.1 NS 方程的基本形式 12 3.1.1 基本形式 12 3.1.2 与欧拉方程的比较 . 14 3.2 NS 方程的几种形式 15 3.2.1 动量方程的几种形式 . 15 3.2.2 能量方程的几种形式 . 16 3
2、.3 对流、扩散与耗散 18 3.3.1 对流 18 3.3.2 扩散 18 3.3.3 耗散 18 4 基本方程的演化与简化 . 18 4.1 不可压缩流动 . 18 4.1.1 基本定义 18 4.1.2 等价定义 19 4.2 特殊方程 . 19 4.2.1 理想等熵流动方程 . 19 4.2.2 克罗克方程 . 23 4.2.3 伯努利方程 . 25 4.3 势流基本方程 . 27 4.3.1 无旋流动 27 4.3.2 势函数 27 4.3.3 势流基本方程 . 28 4.3.4 势流方程的性质 . 28 4.4 小扰动基本方程 29 4.4.1 小扰动展开 . 29 4.4.2 超音速流动和亚音速流动 31 4.4.3 跨音速流动 . 31 4.4.4 小扰动边界条件 . 34 4.4.5 小扰动压力方程 . 35 4.4.6 小扰动基本方程总结 . 36 4.5 方程变换与相似解 37 4.5.1 基本原理 37 4.5.2 小扰动仿射变换理论 . 38 4.5.3 速度图法 42 5 如何求解与封闭性问题 . 50 5.1 前言 . 50 5.2 初始条件 . 51 5
3、.3 边界条件 . 51 5.3.1 边界类型与条件 . 51 5.3.2 无粘边界与有粘边界 . 53 5.4 状态方程 . 53 5.5 湍流模型 . 53 5.6 化学反应模型 . 53 6 参考文献 53 空气动力学基本方程空气动力学基本方程 1 摘要摘要 力学中的基本方程是从质量守恒、动量守恒和能量守恒导出的。针对流体, 在无粘和有粘情况下,分别得到欧拉方程和 NS 方程(Navier-Stokes 或纳维斯托 克斯方程) 。这两个方程作为流体力学基本方程并没有在空气动力学早期发展中 直接使用。相反,是它们的简化方程如势流方程和附面层方程在构造空气动力学 早期理论过程中起了决定性作用。因此,在一般的空气动力学论著中,极少直接 从欧拉方程与 NS 方程出发来展开讨论的。 在现代空气动力学中,计算空气动力学起非常重要的作用。考虑到这点,我 们直接从基本方程开始介绍,再演化到势流和附面层方程。这从逻辑上也说得过 去。 说到基本方程有时也显得太数学味道。实际上也可以说是基本物理模型,包 含了假设、方程和适应范围讨论。 2 欧拉方程欧拉方程 2.1 欧拉方程基本形式欧拉方程基本形式 2
4、.1.1 摘要摘要 考虑没有粘性或粘性可忽略的空气流动区域。给出在这种区域,每一点每一 时刻的空气密度、动量和总能所满足的方程。这里采用欧拉坐标系,即针对空间 每一点定义的密度、动量和总能来构造方程,而不是针对空气质点构造方程(拉 格朗日法) 。 2.1.2 构成与对象构成与对象 在早期文献里,只有流动的动量方程才称为欧拉方程。这里指的欧拉方程, 包括了质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。欧拉方程描述的是在某点 某时刻空气密度、 动量, , uvw和能量E所满足的演化方程。 因此, 密度、 动量和能量都看成空间坐标和时间的函数。对于实际流动,这些基本物理量在一 般情况下确实随空间坐标和时间变化,因此,所满足的本质方程必然包含对时间 和空间的导数。 2.1.3 欧拉方程欧拉方程 下面给出欧拉方程(所采用的符号全部是总符号表中的标准符号): 2.2 欧拉方程的几种形式欧拉方程的几种形式 依据写法不同,方程的物理意义的解释方式甚至数学性质是不一样的。不同 形式表面上没有差别,比如说,动量方程中的项 2 /ux也可以写成 /u uxuux + ,这表面上看是等价的,但实际上存在很大区别。
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