行列式的计算机及应用

1、 本科生毕业论文（设计） 题 目：行列式的计算及应用 姓 名：王冉冉 指导教师：郭素霞系 别：数学系 专 业：数学与应用数学 年 级：2002级 完成日期：2006年 5 月26日 本科生毕业论文（设计） 论文题目： 行列式的计算及应用 摘要：行列式是高等代数的一项重要内容，也是其它学科学习的基础，本文主要讨论行列式的计算方法及简单应用。 行列式计算常用方法有按某一行或列展开计算行列式，利用公式法，利用方阵行列式的性质计算行列式，借用第三者法，换元法，逐行或列相减法，化三角形法，析因子法，拆行(列)法,加边法，递推法，利用行列式的乘法法则，连加法，乘积法，对称法。行列式在数学各分支中有着广泛的应用，本文主要讨论用行列式判断两直线间的位置关系与nn方程组解的情况。 关键词：行列式；计算；应用 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k,等于以数k乘这个行列式 行列式产生于解线性方程组，然而其应用现远远超出了解线性方程组的范围，成为了学习其它学科相当重要的工具，因此行列式的学习很重要。一行列式的计算对于较低阶的行列式，其计算一般采用下面的几种方法：(1) 按行（或列）展开（可按一

2、行或几行）将高阶行列式化为若干各低阶行列式的计算；(2) 三角化法：利用行列式的性质，对行（或列）施行消法变换，换法变换可将原行列式主对角线一侧的元素化为零（即上三角或下三角），这时主对角线上元素的乘积即为原行列式的值；(3) 按行列式的性质及按行（或列）展开成一块用来计算行列式的值。而对于n阶行列式来说，由于其题型变化较多，因此除使用以上三种方法外，还要依据行列式元素间的规律来计算。下面介绍了一些行列式的计算方法。1化为三角形法由n阶行列式定义可知：上（下）三角行列式，对角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。所以要计算一个n阶行列式通常是利用行列式的性质，经过一系列行列式的变形，把所给的行列式化简为一个上（下）三角行列式，这就是常说的化三角法，再根据=就可求得原行列式的值。例1计算n阶行列式解 因为这个行列式中每一行上n个元素之和都为n+1，所以将第2,3,，n列元素都加到第一列上，得,注：（1）形如 （2）化三角形法计算行列式的方法比较容易掌握，是计算行列式的一种常用的方法，如下面各行列式均可以使用化三角形法计算，例如2 析因子法 如果行列式D中有一些元素是变量X(或某个参数)的多

3、项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f(x)，然后，直接地对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的线性因式（一次因式），使得f(x)与这些线性因式的乘积g(x)只相差一个常数因子c,根据多项式相等定义，比较f(x)与g(x)的某一项系数，求出c的值，这样便求得D=f(x)=cg(x)，对于行列式中有些元素是n个变数的多项式也可以类似处理。 例2D= 可以看作关于多项式f(x),当x=1时f()=0当x=时f()=0所以f(x)有因子：x1,x1,x2,x2另外，由行列式定义可知，D中只含有x的最高次数为4，故D=c(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)而D中只含的系数为3，从而得c=-3. 故 D=3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)3 拆行（列）法此法是把已知的n阶行列式根据性质拆成若干个n阶行列式之和，然后再求出行列式的值。例3D=+ =+当n2时，等号右边的第一行列式中第二列与后面的列成比例，所以其值为0，第二个行列式中第二列于后面的列都相等，所以其值也为0。当n=2时，D=()()当n=1时，D=故D=例4 计算行列式D=+=0+0=0例5在平面上，以点解： 第一行

4、拆为 4 加边法此法是把n阶行列式适当的添加一行一列（或m行m列）得到一个n+1(或n+m)阶结行列式，使其值不变，并且要求所得的n+1(或n+m)阶行列式比较容易求出其值。例5D=1+例6加边法又称为升阶法，就是将原行列式中增添若干个适当的行与列，构成一个新的行列式，并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的。同样要计算n阶行列式5 递推法 此法利用行列式的性质，把给定的n阶的行列式用同样形式的n-1级（或更低级）行列式表达出来，这种表达式称为递推关系式，然后，根据递推关系式求出的一般表达式，例如上面的例5按最后一列拆成两个行列式之和。得递推关系式 将这n-1个更式两边相加，得而所以6 利用行列式乘法法则7连加法 若行列式中某列（行）加上其余乘上某因子的各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法。例8 计算行列式D=解 该行列式的特点是各列元素之和都是x+(n-1)a,先把第2行至第n行元素同时相加到第一行，并提出公因式，得 8. 乘积法根据拉普拉斯定理，所得行列式乘法运算规则如下:其中（2）两个行列式的乘积可以象矩阵的乘法一样来计算，假如两个

5、行列式的阶数不同，只要把他们的阶数化为相同，就可以应用公式（2）。这种方法的关键是寻找有特殊结构的一致行列式去乘原行列式的计算，这也是较为常用的方法。例9 行列式D= 解 ： 取行列式9. 逐行（或列）相减法例10 计算杨辉三角规律给出的行列式 解： 设 利用组合公式把第(n-1)行乘(-1)加到第(n)行上去，在将第(n-2)行乘(-1)加到第(n-1)行上去，如此下去，直到将第一行乘(-1)加到第二行上去，得逐行列相减法就是自上而下（自左自右）对行（或列）施行消法变换将行列式简化以利于计算行列式的值。 10换元法即利用性质设 例11 设求证: 证明：将它的左端行列式按第一拆开，得再将上式右边第一个行列式按第二列拆开，这样继续下去，最后得11 利用方阵行列式的性质计算行列式解：因为n阶方阵12. 借用“第三者”法（即成以一个适当的行列式）例13计算 设方阵为 求解：取，注：在例子中，不仅计算出了的行列式的值，同时也证明了相似于1个对角矩阵。13. 利用公式法。因为阶范德蒙行列式例14：计算行列式解： 14 按某一行（列）展开计算行列式因为对于任意一个n阶行列式 例15 计算n阶行列式

6、 解： 因为该n阶行列式D中第一列上只有两个元素不为零，所以按第一列展开，得到注：给出一个n阶行列式D，如果有某一行（列）上只有一二个元素不为零，则就选定按这一行(列)展开；或者利用行列式的性质化简使行列式的某一行(列)上元素为零，然后按这一行（列）展开来计算它.二行列式的应用1 在空间几何中可以判断两直线间的位置关系 由点及方向矢量所定的直线 （1） 和由点及方向矢量所给定的直线 （2） 之间的位置关系，完全可以由矢量的相互关系确定。 证明：直线通过点而方向矢量为，直线通过点而方向矢量为，由于有 所以直线与是共面的，由于，这两条直线是相交的，它们所在平面的方程按（3）式为 即2. 用行列式判断方程组解的情况 线性方程组 数域P上的方程组 （1） 与二元，三元线性方程组相类似，可以用n阶行列式来讨论它的解的情况。 我们知道，若n阶方阵A经过一系列初等行变换变成矩阵B，则，其中为数域P中某个非零数，根据这个结论，我们可以利用行列式来判断线性方程组解的情况。 考虑方程组（1），对它们的增广矩阵施行初等行变换化成行阶梯形矩阵，则相应地，其系数矩阵经过这些行变换被化成行阶梯形矩阵 R，其中R比

7、少最后一列，于是有，其中,因而R没有零行，即R有n个主元。设R的n个主元的列指标依次为，由此得，因此从而于是所表示的阶梯形方程组不会出现方程（其中d是非零数）。因此，当时，方程组（1）有解；于是阶梯形方程组的方程个数等于n，因此（1）有唯一解。若，则0，且R一定有零行，不然的话，上三角行列式=。矛盾！因此其中。 此时，有两种可能：1）这时方程组（1）无解； 2) 这时方程组（1）有无穷多个解。以上讨论可总结为下面结论 定理 如果数域P上的方程组（1）的系数矩阵A的行列式则（1）由唯一解；如果，则（1）或者无解，或者有无穷多组解。 推论1 数域P上的方程组（1）由唯一解的充分必要条件是（1）系数矩阵的行列式不等于零。 把定理应用到齐次方程组上便有如下结论 推论2 数域P上的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式不等于零。 例2 取何值时，方程组 有非零解？ 解：根据推论2，上述方程组有非零解，当且仅当 而 = 因此，当或时，所给方程有非零解以上就是对行列式计算和应用的一些简单归纳。如有不妥之处，请给予改正。参考文献1 武汉大学数学系数学专业编。线性代数M。北京：高等教育出

8、版社2 北京大学数学力学系几何与代数教研室小组编代数。高等代数M。北京：人民教育出版社3 同济大学数学教研室编。线性代数M。北京：高等教育出版社4 彭玉芳、伊福源。线性代数M。北京：高等教育出版社5 王品超。高等代数新方法M.济南：山东教育出版社，11 武汉大学数学系数学专业编。线性代数。北京：高等教育出版社1989。6 王正文。高等代数分析与研究M.济南：山东大学出版社，19947 周士潘、王秀和、顾美英、董张维。高等代数解题分析M。江苏：江苏科学出版社，1985 8张禾瑞.高等代数M.北京:高等教育出版社(第4版), 1997. 9 R.A.Ho rn,C.R.Jo hn so n,M a trix,A na ly sis,C am brid g e,bress,N ew,Y ork, 1985. 10R.A.Ho rn,C.R.Jo hn so n,T op icsinm a trixA na ly sis,Cm brid g eun iv ersityp ress,N ewY ork, 1991. 11 赵树媛.线性代数M(第三版).北京:中国人民大学出版社, 1997. 12 熊全淹.高等代数M.北京:高等教育出版社,2000.13张乃一，曲文萍，刘九兰，线性代数M，天津，天津大学出版

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