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矩阵论习题选解

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1、习题选解习题 1 8 解设,则得 9 解设,则 11 解由矩阵的秩为2,所以的维数是2,的最大无关的行向量组对应于的基 , 从而均为的基. 14 证明由 , 得. 所以 ,由线性无关, 所以,从而的最大无关组与的列向量组的最大无关组对应,从而的结论. 习题 2 2 证明(1) 直接验证内积的四条公里成立. (2) 3 证明 (1) (2) 类似证明. 10 证明 11 证明证明由得即由的任意性知是单位阵,所以是的规范正交基. 12 证明 13 证明 14 证明(1)，所以，从而是线性子空间。（2）先取，再取，最后取，则就是的基。所以。习题 3 9 证明（1），所以，从而。反过来，，所以。（2），所以，又，所以。 10 证明设的特征值为，相应的特征向量为，则是相应于特征值的特征子空间的基，从而相应于特征值的特征子空间的所有向量都可由表示。由，从而，所以存在，所以也是的特征向量，而线性无关，所以是的基，且在基下的表示矩阵为。 13 证明有相同的秩和行列式因子，注意到，所以最后一个等

2、价条件是显然的。 18 证明由，无重根，所以是最小多项式。记，由，得。由，所以可逆。由于，所以可由的低次幂表示。故不防设，则，所以也是最小多项式，比较系数得。 19 证明。 20 证明。 21 证明由知的最小多项式是的因子。由无重根，所以无重根，从而与对角阵相似。 25 证明取，使得，从而。对作列分块，即令，将的列向量组规范正交化得，其中是一个酉矩阵，是一个上三角阵。从而，注意到上三角阵的逆矩阵也是上三角阵，上三角阵的乘积也是上三角阵，所以。 26 证明由 25 题知道存在酉矩阵使得。若是对角阵，则从而，，所以正规。反过来，若正规，则由前面同样计算可得，注意到是上三角矩阵，直接计算知，从而是对角阵。习题 4 1 证明（1）（2）（3） 2 证明充分性，所以线性相关，且。必要性显然。 3 直接计算 4 直接验证范数的三条公里 5 证明令，验证是内积，从而是向量范数。 6 证明直接验证矩阵范数的 4 条公里，前三条显然。看相容性 8 证明（1）。（2）。 10 证明设的特征值为，注意到立得结果。习题 5 1 2 证明必要性显然。充分性取使得，则，从而，所以，从而，所以。 4 证明，所以，从而时，。 17 解，对于，若，则（1），取，则，所以记，则,注意到所以 (2) ,取,则，所以记，则,其中 .由,直接计算知的最小多项式为. 取辅助多项式 .则另解: 18 解 , 其中满足.若,则. 对本题的,取,则,有,所以,由所以习题 7 11 证明。事实上，由得，，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，从而原方程组相容。习题 8 1 证明存在正交阵使得, 从而 .所以正(负)定的充要条件是的特征值恒正(负),由于的对角线上的元素含于,因而,这等价于 . 2 证明若,则存在使得,从而正定,同理可得时, 负定,从而的特征值必在区间上. 3 按提示做即可. 8 证明 ,直接计算知是的一个特征值,所以 .

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