矩阵及其特征值计算

1、第第5 5章章 矩阵及其特征值计算矩阵及其特征值计算第第5 5章章 矩阵及其特征值计算矩阵及其特征值计算 1 1 特征值性质及其估计特征值性质及其估计 2 幂法及反幂法幂法及反幂法2 幂法及反幂法幂法及反幂法 3 QR方法方法 3 QR方法方法 矩阵计算的基本问题矩阵计算的基本问题 线性方程组解线性方程组解?线性方程组解线性方程组解 ?超定方程组的二乘解超定方程组的二乘解 bAx = 2|bAxmin ?超定方程组的二乘解超定方程组的二乘解 ?矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量xAx= 2|bAx min ?矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量xAx= 一一、问题问题一一、问题问题 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域 中方阵的对角化、偏微分方程组的求解等问题都会用到中方阵的对角化、偏微分方程组的求解等问题都会用到 该理论该理论。该理论该

2、理论。 4 矩阵特征值矩阵特征值 AxAx= ?求绝对值最大的特征值 ?求全部特征值 5 设设为为阶方阵阶方阵，如果存在数如果存在数和和维维非零非零向量向量 二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵，如果存在数如果存在数 和和 n 维维非零非零向量向量 X 则称数则称数 为方阵为方阵 A 的的特征值特征值， 非零使得， 非零使得 AX= X， 向量向量 X 称为称为 A 的属于特征值的属于特征值 的的特征向量特征向量。 注意注意(1) 特征值 可以为零； 比如，若 X是矩阵 A的属于特征值0的特征向量， (2) 属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。 比如，若 X是矩阵 A的属于特征值0 的特征向量， 则也是 A的属于特征值0的特征向量。)0( kXk 6 定义1定义1 已知n阶矩阵A=(aij)，则( ij) det)det()( 22221 11211 aaa aaa AI n n L L det)det()( 21 = = = = aaa AI L MOMM )2()( 1 2211 21 的项次数+=的项次数+= naaa aaa n nn n

3、 nnnn L 称为A的特征多项式. A的特征方程 一般有 个根 实的或复的，重根按重数计算 称为 的 A的特征方程 )1 . 1 (0)det()(= = = =AI 一般有n个根(实的或复的，重根按重数计算)称为A的 特征值. 用(A)表示A的所有特征值的集合.特征值 用 ( )表示 的所有特征值的集合 注：当A为实矩阵时，()=0为实系数n次代数 方程，其复根是共轭成对出现. 8 设为A的特征值，相应的齐次方程组 设为A的特征值，相应的齐次方程组 )2 . 1 (0)(= = xAI )()( 的非零解x称为矩阵A的对应于的特征向量. 9 例例1 求A的特征值及特征向量，其中 012 例例1 求A的特征值及特征向量，其中 = = 210 131A 210 解解 矩阵A的特征方程为 131 012 )det()( AI 解解 矩阵 的特征方程为 210 131)det()( = = = = AI . 0)4)(2)(1(8147 23 =+=+= 求得矩阵A的特征值为：求得矩阵A的特征值为： . 4, 2, 1= = = = 对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：对应于各特征值矩阵

4、A的特征向量分别为： 111 . 1 2, 1 0, 1 1 321 = = = = = =xxx 111 计算问题计算问题 关于计算矩阵A的特征值问题，当n2,3时，我 们还可按行列式展开的办法求()=0的根. 但当n较大们还可按行列式展开的办法求() 0的根. 但当n较大 时，如果按展开行列式的办法，首先求出()的系数， 再求的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵再求()的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵 的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特征值的特征值是不切实际的，由此需要研究求 的特征值 及特征向量的数值解法. 下面叙述有关特征值的一些结论： 三、基本性质三、基本性质 定理1 设为ARnn的特征值, 且Ax=x (x0)， 下面叙述有关特征值的一些结论： 则有 为的 A特征值( 0为常数)； -p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(-p)x ； c为的cA特征值(c0为常数)； -p为A-pI的特征值，即(A-pI)x (-p)x ； k为Ak的特征值，即Akx=kx ；为的特征值，即； 设A为非奇异矩阵，那么0 , 且-1为A-1的特 征值，即A-1x=-1x

5、. 定理2 设i(i=1,2,L,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值， 则有则有 )(Atra n i ii n i i = = = =11 称为A的迹； ii= = =11 . n AL 21 = = 定理3 设ARnn，则有定理3 设AR，则有 . )()(AAT= = 定理4 设A 为分块上三角矩阵，即定理4 设A 为分块上三角矩阵，即 m AAAL 11211 , = = m AA A MO L 222 mm A 其中每个对角块Aii均为方阵，则. )()( ii n i AA U 1= = = = 15 定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P 使B=P-1AP），则使B P-AP），则 A与B有相同的特征值； 如果 是 的特征向量，则是 的特征向量 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变值不变. 定理6 ARnn可对角化，即存在非奇异矩阵定理6 ARnn可对角化，即存在非奇异矩阵 P使 = = APP 2 1 1 , = = n APP O 的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量. n 如果ARnn有

6、m个 (mn) 不同的特征值 1,2,L,m，则对应的特征向量 x1,x2,L, xm 线性无关. 定理7(对称矩阵的正交约化) 设AR 为对称定理7(对称矩阵的正交约化) 设ARnn为对称 矩阵，则 A的特征值均为实数； A有n个线性无关的特征向量； 存在一个正交矩阵P使的 1 A有n个线性无关的特征向量； , = = T APP O 2 且 为A的特征值，而P(u uu ) 列向量 n 且1,2,L,n为A的特征值，而P(u1,u2,L,un) 列向量 uj为A的对应于j的单位特征向量. 下面讨论矩阵特征值界的估计 四、特征值估计四、特征值估计 定义3 设n阶矩阵A=(a )，令 下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A (aij)，令 )(niar n L21= = = ；).,(niar ij j iji L21 1 = = = = = ； 集合称 为复平面上以a 为圆心，以r为半径的n阶矩阵A的n ),(,|niCzrazzD iiii L21= 为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin(格什戈林)圆盘. 定理8 (Gersc

7、hgorin圆盘定理)定理8 (Gerschgorin圆盘定理) 设n阶矩阵A(a )，则A的每一个特征值必属 n 设n阶矩阵A(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中 ).,(niara n ij j ijiii L21 1 = = = ij 或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. 如果A有 个圆盘组成一个连通的并集S，且S 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且S 与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个特 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离 征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离 (即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值. 这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘 中，并且相应的特征值一定位于第k个圆盘中(其中k中，并且相应的特征值一定位于第k个圆盘中(其中k 是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标). 21 利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进 一步的估计，即适当选取非奇异对角阵一步的估计，即适当选取非奇异对角阵 1 1 1 , 1 21 = = D O 1 n 并做相似变换适当选取 jij a ADD 1 )21(niL= = 并做相似变换.适当选取 可使某些圆盘半径及连通性发生变化. nn i jj ADD = = 1 ), 2 , 1(ni i L= = 例估计矩阵 的特征值范围，其中 014 例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 . 411 101 =A 411 解 矩阵A的3个圆盘为 . 24:, 2:, 14: 321 +DDD ).,(niara n ijiii L21= = = ).,(niara ij j ijiii 21 1 = = 由定理 ，可知 的 个特征值位于 个圆盘的并由定理8，可

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