矩阵多项式的逆、秩、块数值域与应用、正交多项式

1、题目：矩阵多项式的逆、秩、块数值域与应用、正交多项式1、 矩阵多项式的定义设f(x)=+是关于未知数的次多项式；是方阵，是的同阶单位矩阵，则称f(x)=+为多项式f(x)=+形成的矩阵的多项式，记作f()。例如，=，则f()=-+=，f()就是矩阵的多项式。当然矩阵多项式也是矩阵。矩阵多项式的逆矩阵的定义：设是数域P上的一个n阶方阵，f()是矩阵的多项式，如果存在矩阵多项式g()，使得f()g()=g()f()=，则称矩阵多项式f()是可逆的，又称矩阵多项式g()为多项式f()的逆矩阵。当矩阵多项式f()是可逆的时，逆矩阵g()由矩阵多项式f()唯一确定，记为。2、 矩阵多项式的逆矩阵求法1. 对于一些比较容易化解或形式比较简单的矩阵多项式的逆矩阵求法，可以先尝试用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵（多项式有逆矩阵的充分必要条件是它的行列式值为非零数）。例如分解因子法：例 若,是两个阶方阵，且具有成立，证明是可逆的，并求的逆矩阵。证明: 由于 ，故是可逆的，且。待定系数法：例 如果已知矩阵满足式子，矩阵，证明是可逆的，并求他的逆矩阵。证明：由于的逆矩阵的次数最高只可能是二次，所以可设。由

2、条件可得又因为，则有 得 解得，于是得到2. 一般的矩阵多项式的逆矩阵的求法以上的求解矩阵多项式的逆矩阵的方法虽然简单，但是有一定的运算技巧，而且并不是所有的矩阵多项式的逆矩阵的求解都可以用这些方法。例如：设矩阵，求的逆矩阵。此问题无法用分解因子法来求解，用待定系数法求解可能可以求解出来，但是计算比较复杂。首先分析矩阵多项式的结构特点。例如，则=，就是矩阵的多项式。由于，这样看来又是一个以为文字的多项式则矩阵多项式也具有多项式的特点。多项式的最大公因式理论中有：如果，则存在多项式使得。令，则。将换做矩阵，如果保证,就有,从而就是矩阵多项式的逆矩阵。定理：若是一个阶方阵，表示复数域，且方程的根都是阶方阵的特征值，则可逆。此时存在，使得，且。证明：令，为的所有特征值，则，就是的全部特征值，就是的全部特征值，又因为可逆，于是有：，但是由于，则，故与无公共零点，即。则由于，所以对于每个，必有且，即，从而可逆。当与互素时，必有，使得，从而。例： 如果已知矩阵满足式子，矩阵，证明是可逆的，并求它的逆矩阵。解：令，则且的根都是的特征值，又因为，没有共同根，说明两个多项式与互素，即。从而由定理可知可逆

3、，利用辗转相除法求得 。所以 。特别的，如果表示一个一次多项式时，利用，是一个非零常数，即。例：已知表示一个方阵，且有式子成立，求。解：设，则由题意可得，且的根都是的特征值，利用综合排除法求得,所以。注意于定理需要，与矩阵的零化多项式、最小多项式、特征多项式等联系起来。得到推论1：若是一个阶方阵，为的特征多项式，则的可逆充要条件是。此时存在，使得，且。推论2：若是一个阶方阵，为的最小多项式，则可逆的充要条件是。此时存在，使得，且。推论3：若是一个阶方阵，且，其中为的特征多项式，则可逆的充要条件是，此时存在，使得，且。3、 矩阵多项式的秩引理1：设，是数域上的多项式。若，则。引理2：设，则对任意正整数，有式中分块矩阵的主对角线有个。例：设是数域上的次多项式，是的所有互异复根，。对任意的阶方阵，若可逆，则成立。证明：将在复数域上分离重因式，即令，则，其中是的首项系数。对阶方阵，由得。故由可逆以及引理1得即结论成立。例：设是数域上的次多项式，是的所有互异复根集合，阶方阵可以对角化，是的所有互异复根集合，若，则矩阵多项式恒等式成立，其中，分别是，的重根数。证明：由矩阵可以对角化，则存在阶可逆矩

4、阵，使得，对于多项式，由矩阵运算可得，由，则当时，当时。所以成立。例：设，为任意的阶方阵，令，分别为，的特征多项式且，则,。证明：由于，以及矩阵的基本性质可得，对数域上的次多项式以及阶方阵，若，令为的特征多项式并与进行带余除法，即设，其中或者，则由得到，所以。引理3：令，是一元多项式，是一个非零阶方阵。设和分别是和的最大公因式和最小公倍式。则 。特别的如果和是互素的，则。引理4：令，是一元多项式，是一个非零阶方阵。如果存在多项式使得对任意的，都有，则，其中。证明：对进行归纳，当时，由题意可知是和的最小公倍式，根据引理3有。假设时，等式成立，其中；当时，考察多项式和，由题意可知是和的最大公因式，而是和的最小公倍式。如果令，由引理3可知，根据归纳假设有，代入到上一个式子得到，即成立。得到推论：令是一个非零的阶方阵，是两两互素的多项式。则。定理：令是一个非零的阶方阵，是个多项式，假设存在多项式使得对任意的，都有，如果对任意的，都成立，则或者，特别的当时，。证明：由引理4有，其中，根据题意，所以，另一方面，对任意的，因为是和的最小公倍式，所以根据引理3有，所以。而，所以，由两式可以得到等式，即

5、或者，特别的当时，。推论：令是一个非零的阶方阵，是两两互素的多项式，如果对任意的，都有，则，并且。四、矩阵多项式的块数值域矩阵多项式的块数值域定义1：，当的分解固定式，记，当时，矩阵多项式的块数值域即为其数值域；当时，其与矩阵多项式的二次数值域一致；对矩阵多项式，即为矩阵多项式的谱，记满足，则集合可以表示为。得到引理1：，。其中。定理：根据定义，若，则是有界的；若，那么块数值域亦可能是有界的。例：令。简单计算后得到，显然是有界的，但是，即。则“若，那么块数值域亦可能是有界的”成立。定义2：令且分别对应希尔伯特空间与，则称为的一个加细分解，如果，且存在满足对任意的。定理：若为的一个加细分解，则，简记为。5、 矩阵多项式的正交多项式矩阵的正交多项式能够使其生成的矩阵的形式极其简单，为非奇异矩阵，从而大大降低了求解计算。在区间上，给定权函数，可以由线性无关的一组基，利用施密特正交化方法构造出正交多项式族，由生成的线性空间记为。对于，根据次数的具体要求，总可以在中找到最佳平方逼近多项式。的具体形式为：。这样构造出的正交多项式具有的有用性质如下：为最高次数相系数为的次多项式。任一不高于次的多项式

6、都可以表示成。当时，；且与所有次数小于的多项式正交，即，其中为权函数。存在递推关系；其中。；其中。推论：两个相邻正交多项式和无公共根；设为正交多项式的一个根，则和异号。次正交多项式有个互异实零点，并且都包含在中。假设是正交多项式的个根，那么每个区域内都有的一个零点。对老师的看法、意见、建议和评价老师在性格上是一个很和蔼可亲的人，很好相处。教学质量上因为自己学的课本知识不是很好也就说不出个所以然的看法和建议。老师在教学上尽职尽责是大家都能够看得到的，被大家所认可。不过老师上课的音色让我们有些头疼，总是听不到或是听不清所讲的内容，虽说是先天性的因素无法改变，我们只能尽量去适应，老师利用了扩音器，但貌似效果还不是很好，让我们想认真听课的心都有点淡淡的忧桑，有时候因为听不清，又是新知识很不懂，就只能选择自己看书学习了= =；希望老师以后上课的时候能够尽量把声音调大一些，吐字清晰着重一点 *_* 。最后几节课的时候，老师总会拿出一点时间来为大家解惑，满足了我们一点点求知的欲望，方式很好，不过就是时间有限，不能问太多，也不能让所有人都提问题，而且老师解答问题的时候语调好重，看起来好凶啊T T；其实可以适当的调低一点点，温柔一点点，问问题的人会更多一些些的 *_* 。11

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