矩形运算方法

1、一败涂地、 解线性方程组（线性矩阵方程）解线性方程组是科学计算中最常见的问题。所说的“最常见”有两方面的含义：） 问题的本身是求解线性方程组；） 许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。关于线性方程组（）其求解方法有两类：） 直接法：高斯消去法（Gaussian Elimination）；） 间接法：各种迭代法（Iteration）。、高斯消去法） 引例考虑如下（梯形）线性方程组：高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组（）化成（上或下）梯形的形式。）高斯消去法示例考虑如下线性方程组：） 第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘加到第三个方程的两端，得）第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端，得） 从上述方程组的第三个方程依此求解，得）高斯消去法的不足及其改进高斯（全、列）主元素消去法在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为注：数值稳定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。列主元素消去法的基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝

2、对值最大的元素）,使乘数.列主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的按列选主元、交换两行、消元计算，得到矩阵.第步计算如下：对于，（1） 选列主元素，即确定使；（2） 如果，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算；（3） 如果，则交换第行与第行元素；（4） 消元计算： （5） 回代计算：完全主元素消去法即是每次选主元时，依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素，然后交换两行、两列，再进行消元计算.完全主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算，得到矩阵.第步计算选主元素的范围为，即确定使.第步计算如下：对于，（1） 选主元素，即确定使；（2） 如果，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算；（3） 如果，则交换第行与第行元素；如果，则交换第列与第列元素；（4） 消元计算： （5） 回代求解.【注】 完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但完全主元消去法解方程组，在选主元素时要化费较多的计算机时间，行主元消去法与列主元消去法运算量大体相同，实际计算时，用列主元消去法即可满足一定的精度要求.对同一数值问题，用不同的计算方法，所得结果的

3、精度大不一样.对于一个算法来说，如果计算过程中舍入误差能得到控制，对计算结果影响较小，则称此算法是数值稳定的；否则，如果计算过程中舍入误差增长迅速，计算结果受舍入误差影响较大，则称此算法为数值不稳定的.因此，我们解数值问题时，应选择和使用数值稳定的算法，否则如果使用数值不稳定的算法，就可能导致计算失败.）高斯列主元素消去法的MATLAB实现：，意为例 LinearEquiation02.mopen LinearEquiation02 LinearEquiation02 一个典型的例子: Hilbert矩阵:注: 非奇异矩阵的条件数: ）分解（Factorization）（高斯消去法、Doolittle分解）高斯消去法的消元过程，从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵，且乘积的结果为上三角矩阵，即 ()可通过直接用A元素计算矩阵A的三角分解矩阵L和U.这种直接计算A的三角分解的方法有实用上的好处.下面利用矩阵乘法规则来确定三角矩阵L和U.第一步：利用A的第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素.由矩阵乘法，得到,. （3.7）设已经计算出U的第1至r -1行元

4、素，L的第1至r -1列元素，现在要计算U的第r行元素及L的第r列元素.第r步：利用A的第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素.由矩阵乘法，有，得U的第r行元素为. （3.8）由，得. （3.9）例5 用LU分解法求解方程组.解 对系数矩阵A进行LU分解，.由，有.，.因此.解方程组，得.解方程组，得.6） LU 分解的MATLAB实现：或例 A=rand(5);L,U，P=lu(A)A=rand(5);L,U,P=lu(A)L=PL 当是主对角占优的三对角矩阵时，基于Doolittle分解可得到解这类方程组的追赶法。、Cholesky分解 (Cholesky Factorization)对称正定矩阵的Cholesky分解和以为系数矩阵地的线性方程组的改进的平方根法：设阶方程组，是对称正定矩阵(Positive Definite Matrix)，则有三角分解.再将分解为,则.（1） 对称正定矩阵有唯一的分解这是由于，且对称阵，则有再利用三角分解的唯一性，得.因此，对称正定矩阵有唯一的分解.（2） 是正定对角阵（即）由于对称正定的充要条件是对称正定，其中是阶可逆方阵.取，

5、就推知是正定对角阵.因此的对角元素，记，其中,则.（3） 乔莱斯基（Cholesky）分解将记为，则称为Cholesky分解.利用Cholesky直接分解公式，推导出的解方程组方法，称为Cholesky方法或平方根法.（4） 解方程组的平方根法（Cholesky方法）由Cholesky分解，有. （3.10）利用矩阵乘法，逐步确定的第行元素.由（当时，），有分解公式：对于 （3.11）将对称正定矩阵作Cholesky分解后，则解方程组就转化为解两个三角方程组.例7 用Cholesky方法解方程组.解 对系数矩阵作Cholesky分解得到.解，得.解，得.cholesky分解的MATLAB的实现：L=chol(A)。3、追赶法在许多实际问题中，如，常微分方程两点边值问题、三次样条插值方法等，往往遇到线性方程组的求解，其中. （3.13）称具有公式（3.13）形式的系数矩阵为三对角阵,称相应的线性方程组为三对角方程组（Tridiagonal Linear Systems).具有这种形式的方程组在实际问题中是经常遇到的，而且往往是对角占优（Diagonally Dominant）的.满足条件

6、： ，.这类方程组的解存在唯一（非奇异），可以直接利用高斯消去法或直接分解法，而其解答可以用极其简单的递推公式表示出来，即下面介绍的追赶法.追赶法通常是数值稳定的.对作LU分解（Doolitle分解），可以发现L、U具有非常简单的形式.由矩阵乘积，得.比较等式两端，得到 （3.14）因为上述分解，则方程组的求解转化为解两个简单的三角方程组和，从而得到求解方程组的算法公式.先解，即. （3.15）再解，即. （3.16）这种把三对角方程组的解用递推公式（3.14）、（3.15）、（3.16）表示出来的方法形象化地叫做追赶法，其中（3.14）、（3.15）是关于下标由小到大的递推公式称为追的过程，而（16）却是下标由大到小的递推公式称为赶的过程，一追一赶构成了求解的追赶法.例9 用追赶法解三对角方程组.解 系数矩阵分解得到.解，得.解，得.调用函数LU_Factorization.m解例9.输入 A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=1;3;2;x,L,U,index=LU_Factorization(A,b)得到方程组的解及相应的LU分解矩阵：x = 0.5179 L= 1

7、.0000 0 0 U= 4.0000 -1.0000 0 1.0714 -0.2500 1.0000 0 0 3.7500 -1.0000 0.7679 0 -0.2667 1.0000 0 0 3.7333为了对线性方程组的直接法作出误差分析，为了讨论方程组迭代法的收敛性，需要对向量和矩阵的大小进行度量，进而引入了范数用于度量“量”的大小的概念、 引言实数的绝对值：是数轴上的点到原点的距离；复数的模：是平面上的点到原点的距离；还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如）；）向量的内积、范数及维空间距离的度量令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质：、共轭对称性：，；、非负性：，；、线性性：，；则称是上的一个向量内积（inner product），向量空间上的向量内积通常用符号表示，定义了内积的向量空间称为内积空间（inner product space）。记做表示。例，容易验证函数（）定义了上的一个内积。令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质：、非负性：，；、齐次性：，；、三角不等式：，；则称是上的一个向量范数（norm），向量空间上的范数通常用符号表示。定义了范数的向量

8、空间称为赋范空间（normed space）。记做表示。例，容易验证函数 （）定义了上的一个范数，这样定义的范数称为由内积（）诱导的范数。例上常用的向量范数：，、范数：；、范数：；、范数：；令是一数域，是上的向量空间，如果实值函数有如下性质：、对称性：，；、非负性：，、三角不等式：，；则称是上的一个距离（函数）（distance function）或度量（metric），定义了度量的向量空间称为度量空间（metric space），记做表示。例4上常用的（由范数诱导的）度量：，、范数诱导的度量：；、范数诱导的度量：；、范数诱导的度量：；矩阵的范数矩阵是线性映射（当时为线性变换）的一种表现形式。因此，除了可以把矩阵看做向量而定义其范数外，更为基本、更为重要的是表征其线性映射的算子范数（operator norm），以的情况为例：（）其中（）右端的范数是赋范空间中向量的范数，由矩阵算子范数的定义（）容易证明（对映像大小的估计）不等式：， （）称满足不等式（）的矩阵范数是与对应的向量范数相容的。例常用的矩阵范数：、范数（列范数）： ；、范数（谱范数）： ；、范数（行范数）： ；上述三种范数是如下定义的矩阵范数的特例：、由向量的范数：，定义：（）、范数（Frobenius）: ；

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