晶体结构的对称性-从点阵到空间群

1、晶体结构的对称性-董成 晶体结构的对称性晶体结构的对称性晶体结构的对称性晶体结构的对称性- - - - 从点阵到空间群从点阵到空间群从点阵到空间群从点阵到空间群 中国科学院物理研究所中国科学院物理研究所中国科学院物理研究所中国科学院物理研究所 董成董成董成董成 晶体结构的对称性-董成 主要内容主要内容 晶体的平移对称性：三维点阵和晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞 晶体学中的对称操作元素晶体学中的对称操作元素： (旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、 螺旋轴和滑移面) 晶体学点群，晶系和点阵型式晶体学点群，晶系和点阵型式 空间群及其应用：空间群及其应用：空间群符号，等效点 系，分数坐标，不对称单位 空间群符号，等效点 系，分数坐标，不对称单位 晶体结构的对称性-董成 晶体性质 晶体是原子晶体是原子(包括离子，原子团包括离子，原子团)在在三维空间中 周期性排列形成 三维空间中 周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同 性质： 的固体物质。晶体有以下的共同 性质： 1. 均匀性均匀性; 2. 各向异性各向异性; 3. 自范性自范性; 4. 对称性对称性; 5.稳定性。5.稳定性。 晶体结构

2、的对称性-董成 对称性的不同含义 物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、 等价或相等的关系。（希腊字根=类似尺寸的。） 由于平衡或和谐的排列所显示的美。 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元 的排列构型的精确对应。 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元 的排列构型的精确对应。 晶体结构的对称性-董成 晶格 晶体结构的对称性-董成 晶体点阵与晶体对称性晶体点阵与晶体对称性 在每个重复周期都选取一个代表点，就可以 用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。 而平移对称性是晶体最为基本的对称性平移对称性是晶体最为基本的对称性。整 个点阵沿平移矢量 t=ua+vb+wc (u、v，w为任意整数) 平移，得到的新空间 点阵与平移前一样，称沿矢量t的平移为沿矢量t的平移为平移 对称操作 平移 对称操作。 晶体结构的对称性-董成 晶体点阵与晶体对称性晶体点阵与晶体对称性 点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢 量，点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三 维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。 选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量 点阵是一组无限的

3、点，连接其中任意两点可以得到一个矢 量，点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三 维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。 选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量a， b和和c作 为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如 下： 作 为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如 下： 此平行六面体称为晶胞。此平行六面体称为晶胞。 晶体结构的对称性-董成 晶胞晶胞 如上确定的六面体称为晶胞，由矢量如上确定的六面体称为晶胞，由矢量a，b和和c确定的方向称 为晶体学的晶轴 确定的方向称 为晶体学的晶轴 X，Y，Z。 如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的 如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的 (primitive)。 晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个 边的长度 晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个 边的长度a，b，c三个边之间的夹角， ， 表示。三个边之间的夹角， ， 表示。 晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了 晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。 晶胞包含描述晶体结构所需

4、的最基本结构信息。如果知道了 晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。 一般写作：晶体结构晶体结构=点阵点阵+结构基元结构基元；但准确的描述应 为： ；但准确的描述应 为： 晶体结构晶体结构=点阵点阵*结构基元 ；晶体结构结构基元 ；晶体结构=结构基元结构基元点阵点阵 晶体结构的对称性-董成 晶胞的选取晶胞的选取 晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽 可能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体 内部结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞- 惯用晶胞。 （1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直 角。 晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽 可能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体 内部结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞- 惯用晶胞。 （1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直 角。 晶体结构的对称性-董成 点阵、结构和单胞点阵

5、、结构和单胞 1. 1. 点阵：点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构(分子) 。晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构(分子) 。 2. 2. 点阵矢量：点阵矢量：由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移。由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移。 3. 3. 初基点阵矢量： 初基点阵矢量： 可选择的最小点阵矢量。可选择的最小点阵矢量。 4. 4. 初基晶胞初基晶胞： ： 初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个 初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个 点阵点。点阵点。 5. 5. 晶体结构： 晶体结构： 原子在晶体中的周期性排列。 它可以通过在 每点阵点安放一个称为基元（或型主）的一组原子来描 述。 原子在晶体中的周期性排列。 它可以通过在 每点阵点安放一个称为基元（或型主）的一组原子来描 述。 晶体结构的对称性-董成 不要混淆点阵点和原子不要混淆点阵点和原子 1. 1. 阵点是在空间中无穷小的点。阵点是在空间中无穷小的点。 2. 2. 原子是实在物体。原子是实在物体。 3. 3. 阵点不必处于原子中心。阵点不必处于原子中心。 晶体结构晶体结构= 结构基元结构基元点阵 晶体结构是在

6、每 个点阵点上安放 一个结构基元。 点阵 晶体结构是在每 个点阵点上安放 一个结构基元。 晶体结构的对称性-董成 三维晶胞的原子计数 在晶胞不同位置的原子由不同数目 的晶胞分享： 1. 顶角原子顶角原子 1/8 2. 棱上原子棱上原子 1/4 3. 面上原子面上原子 1/2 4. 晶胞内部晶胞内部 1 晶体结构的对称性-董成 石墨晶体结构 晶体结构的对称性-董成 三维点阵和晶胞 使用矢量a、b和c 指定点阵：在所有两个点阵点之间的矢量(r) 满足关系， r = ua + vb + wc, ， 其中u、v和w是整数。 指定晶体中的任意点： r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ，其中u，v，w为整数 r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc) x, y, z是在晶胞之内指定一个位置的分数座标分数座标。 x, y, z用晶胞 边长的分数表示，在0-1之间变化。晶胞原点的分数坐标总 是0，0，0。 用相同分数座标x、y和z指定的所有位置都对 称等价。（由于晶体的三维周期性，在分数坐标上加减任 意整数，仍然表示平移对称的等价位置。） 晶体结构的对称性

7、-董成 晶体学中的对称操作元素晶体学中的对称操作元素 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操 作。 对称操 作。 在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称 操作 点对称 操作，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反)是，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反)是点式操作点式操作;使 空间中所有点都运动的对称操作称为 ;使 空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作非点式操作，如平移， 螺旋转动和滑移反映。 ，如平移， 螺旋转动和滑移反映。 晶体结构的对称性-董成 对称操作和对称元素对称操作和对称元素 对称操作对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变 换前不可区分（复原，重合）。 ： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变 换前不可区分（复原，重合）。 对

8、称元素对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或 面。 ：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或 面。 点群点群： 保留一点不变的对称操作群。： 保留一点不变的对称操作群。 空间群空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群 对称操作和平移对称操作组合而成； ：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群 对称操作和平移对称操作组合而成；由由 32 晶体学点群与晶体学点群与 14 个个Bravais 点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带 心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性 操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。 点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带 心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性 操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。 晶体结构的对称性-董成 全同操作 (1)全同操作全同操作(Identity)，符号表示为，符号表示为1 (E)，对 应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵 为单位矩阵。 ，对 应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵 为单位矩阵。 矩阵表示 注意：符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因Herma

9、nn- Mauguin符号，括号内为熊夫利斯Schnflies 符号。 符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因Hermann- Mauguin符号，括号内为熊夫利斯Schnflies 符号。 晶体结构的对称性-董成 旋转轴 (2)旋转轴旋转轴(旋转轴旋转轴) ：绕某轴反时针旋转 ：绕某轴反时针旋转 =360/n度， 度， n称 为旋转轴的次数 称 为旋转轴的次数(或重数或重数)，符号为，符号为n (Cn )。其变换矩阵为：。其变换矩阵为： cossi n si ncos 0 0 001 晶体结构的对称性-董成 旋转矩阵 sincos)sincoscos(sin )sin( sincos)sinsincos(cos )cos( sin cos 11 2 11 2 1 1 xyr ry yxr rx ry rx 100 0cossin 0sincos )( 100 0cossin 0sincos sincos sincos , 1 1 1 2 2 2 112 112 z R z y x z y x xyy yxx 晶体结构的对称性-董成 晶体中的旋转轴限制 练习题： 1. 平移对称性对旋转轴的次数n有很大的限 制，证明在晶体学中只能出n=1,2,3,4,6的旋 转轴。 2. 写出沿三个坐标轴X，Y和Z的4次旋转轴的表 示矩阵。 晶体结构的对称性-董成 矩阵乘法 z y x z y x 100 010 0012次旋转矩 阵 晶体结构的对称性-董成 倒反中心( (Inversion center) 倒反中心：倒反中心：也称为

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