经典力学和量子力学中的谐振子

1、经典力学和量子力学中的谐振子,学生姓名： 辛* 指导教师： 陈*,1.经典力学中的谐振子,1.1简谐振子 1.2受驱谐振子 1.3阻尼谐振子 1.4受驱阻尼振子 1.5完整数学描述 1.6经典谐振子的计算,1.1简谐振子,简谐振子不受驱动力和摩擦力，其合力为： 由牛顿第二定律，且加速度等于x对t的二次微分导数，得： 若定义 ，则方程可以写为： 其一般解为：,1.2受驱谐振子,一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程： 其中A0是驱动振幅，是驱动频率，针对的是一弦波式 的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C） 电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部 的空气阻力）。,1.3阻尼谐振子,阻尼谐振子满足如下二阶微分方程： 其中b是阻尼常数，满足关系式 。满足此方 程的一个例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻 尼力与速度v呈线性比例关系。,1.4受驱阻尼振子,受驱阻尼振子满足方程: 其一般解为两个解的和，一个为暂态解,与初始条件相 关；另一个为稳态解为： 总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率,但 振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率 相关；当驱

2、动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。,1.5完整数学描述,多数谐振子，基本上满足以下的微分方程： 其中t是时间，b是阻尼常数，是本征角频率，而代表驱 动系统的某种事物，其振幅为 ，角频率为，x是进行 振荡的被测量量，可以是位置、电流或其他任何可能的 物理量。角频率与频率f有关，关系式为：,1.6经典谐振子的计算,一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的回复力可从势函数的微商得到。势函数为： 力的表达式为： i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成：,令 ，上式可变为： 其解具有下列形式： 它表示一个正弦运动，其振幅为，相位为，角频率为，相 应的频率是： 只与质点的质量m和恢复力常数k有关，而振幅和相位都与 运动初始条件有关。振子的总能量：,动能和势能的表达式为： 由上两式可知：当 时，势能有最小值0，而此 时动能具有最大值 ； 而当 时，势能具有最大值 ， 而此时动能值最小为0。 显然总能量在运动中是不变的，即,进一步，对于经典振子： 经典振子的速度v为： 利用 ，且已知： 其中 为振幅，平衡点为原点。当 时，由上式知， 此时经典振子的速度v有最大值 ，即经典振子在

3、X=0处逗留时间最短，出现的几率最小。,2.量子力学中的谐振子,2.1一维谐振子 2.1.1哈密顿算符与能量本征态 2.1.2阶梯算符方法 2.1.3自然长度与自然能量 2.2三维谐振子 2.3谐振子的相干态 2.3.1降算符的本征态 2.3.2相干态的性质,2.1一维谐振子,2.1.1哈密顿算符和能量本征态 一维谐振子的哈密顿量为： 用幂级数方法在座标基底下解定态薛定谔方程： 得到的谐振子的能级为： 引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值的能量本 征函数为：,2.1.2阶梯算符方法 首先，我们定义算符 与其伴随算符 ： 利用可观测量算符x、p可以被表 示为阶梯算符的线性组合： 由x、p正则对易关系，并引进厄米算符 ， 证明等式： 得： 表示 态的能量本征值为：,2.1.3自然长度与自然能量 量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简 化问题。这可以透过无量纲化来实现。如果我们以 为单位来测量 能量，以及 为单位来测量距离，则薛定谔方程变成： 且能量本征态与本征值变成：,2.2三维谐振子,三位谐振子的能量本征值方程为： 其中 为谐振子的势。 引进无量纲参数 整

4、理得体系的能量本 征值： 其基态能量：,2.3谐振子的相干态,2.3.1降算符的本征态 做一维运动的粒子，坐标与动量的差方平均值满足下列不确定关系： 对于线谐振子而言，在粒子数表象中，基态 下的不确定关系为： 而 是降算符 的本征态，相应的本征值为0，即 于是，可以推测降算符的本征态为最小不确定态，即相干态。 经计算，得到的降算符的本征态为：,2.3.2相干态的性质,3.经典谐振子与 量子谐振子的区别,3.1能级 3.1.1能量取值点 3.1.2零点能 3.2波函数,3.1能级,3.1.1能量取值点 由式 可知经典谐振子的能量取值是连续的； 而由式 可知量子谐振子的取值不是连续的，是分立的，即是量 子化的，其中n为量子数。而且量子谐振子的能级是等间 距的，间距是。能量取分立值是由于微观粒子具有波粒 二象性这一量子特征。,3.1.2零点能 由式 可知当 时，经典谐振子的最低动能为零； 而由式 可知，量子谐振子在基态的能量不为零。即当n=0时， , 被称为零点能。 它与无限势阱总粒子的基态能量（ n=1,2,3. ） 不为零是很相似的，这是一种量子效应,也是由于微观粒子具有波 粒二象性。,3.2波函数,在量子力学中波函数 本身无意义，但波函数的绝对 值平方 与粒子在空间某点出现的几率成正比。 其相应的几率密度为： 看出经典与量子的两处不同： a.容易看出其在x=0处 ，概率拥有最大值： ；而经 典谐振子中，由于在x=0处的速度最大，所以其出现几率 最小。,b.当经典谐振子的能量为 时，经典回转点 ， 经典振子只能处于 的区域中。应该在 处，势 能 ，即等于总能量。在这点速度减慢 为零，不能再继续往外跑。而按照量子力学计算，粒子在 的区域，仍有不为零的几率。,致 谢,

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