交错网格高阶有限差分法弹性波波场数值模拟读书报告

1、地球物理与空间信息学院 本 科 毕 业 实 习 报 告 地球物理与空间信息学院 本 科 毕 业 实 习 报 告 题目：二维各向异性介质交错网格有限差分波场正演 模拟中边界条件的探讨 姓名：李通学号： 20121000338 院（系） ：地空学院专业：地球物理学 指导教师：顾汉明职称：教授 评 阅 人：蔡成国职称：教授 2016 年 4 月 中国地质大学（武汉）地空学院 本科毕业实习报告 目录目录 一、前言一、前言2 1.1 为什么要读这篇文献.2 1.2 波场正演模拟的研究意义.2 1.3 有限差分法正演模拟方法的发展.3 1.4 文章有关概念.3 二、文章概述二、文章概述4 2.1 该论文研究内容概述.4 2.2 一阶位移应力弹性波方程交错网格法原理及公式推导.4 2.2.1 一阶位移应力各向同性介质弹性波方程.4 2.2.2 一阶位移应力弹性波方程的差分近似8 三、层状各向同性介质中完全匹配层边界效果展示三、层状各向同性介质中完全匹配层边界效果展示11 四、计划进行的工作四、计划进行的工作12 中国地质大学（武汉）地空学院 本科毕业实习报告 交错网格高阶有限差分法弹性波波场数值模拟

2、 论文读书报告 李通 061124 班 20121000338 摘 要：本文是阅读完西安理工大学硕士学位论文交错网格高阶有限差分法的 弹性波波场数值模拟后的读书报告。该论文主要实现了二维弹性波在各种复杂 地质模型中的交错网格差分数值模拟。该论文先通过理论阐述和公式推导，然后 进行编程实践，应用交错网格高阶有限差分法实现了弹性波在水平地表、起伏地 表情况下层状介质,包含有断层、夹层等模型的波场数值模拟。 本文，主要对毕设所需要用到的正演模拟方法，交错网格有限差分法的 相关概念、研究意义、基本理论知识、原理进行了一个阐述和综述，这些是有限 差分法的基础知识；接着是用程序实现层状模型加 pml 边界的波场正演模拟，以 波场快照形式呈现；最后主要是说明以后如何开展研究。 关键词：弹性波波动方程；交错网格；有限差分；波场数值模拟；完全匹配层边 界 一、前言一、前言 1.1 为什么要读这篇文献为什么要读这篇文献 本人毕业设计为 “各向异性介质有限差分波动方程正演模拟的各种吸收边界 条件的探讨与比较” 。 为了在计算机上编程实现波场的数值计算， 为此要为计算离散数值建立基本 方法， 于是我需要学习对

3、模型进行离散网格化的方法；接着若要模拟研究地震波 在地下介质中的传播规律，需要建立地下介质结构模型和相应的参数，且对地质 模型进行网格化离散后， 利用理论数值计算的方法得到计算区域内所有网格点在 各个时间层上的弹性波波场值， 于是我需要推导弹性波方程和吸收边界条件在交 错网格下，有限差分方法得到的这些方程的高阶差分格式。 该论文恰恰包含了数值模型网格化方法、弹性波方程及其差分近似原理、吸 收边界条件这些理论阐述和公式推导， 有利于我对层状介质有限差分波动方程正 演模拟加边界条件的程序编写。 1.2 波场正演模拟的研究意义波场正演模拟的研究意义 随着地震勘探技术的发展， 数值模拟成为研究地球介质中地震波传播的运动 学和动力学特征的重要手段，更成为贯穿地震数据采集、处理和解释的全过程的 一种重要方法。 在地震数据采集中，用于对观测系统的设计和评估； 在地震数据处理中，用于检验各种反演方法的正确性； 地震数据解释中，也可以对解释结果进行正确性的检验。 中国地质大学（武汉）地空学院 本科毕业实习报告 同时由于目前由于能源紧张,石油紧缺，使得石油勘探不断向复杂构造、起 伏地表等复杂地区发展，地质

4、构造的复杂性，给野外采集数据带来极大的困难， 同时也导致偏移成像十分困难，对地震反演的要求提高，因此要求有更客观、更 精确的方法来模拟地下介质中波的传播规律，以达到对地质勘探的效果，于是就 体现出了波场正演模拟的重要及必要性。 一般来说， 研究地震波场有四种途径， 分别是理论研究、 物理模拟实验研究、 数值模拟研究和野外实际观测研究。实际观测数据是研究的基础,理论方法是研 究的本质，然而只有极少数的简单波场模型才可能求出精确的解析解。多年来， 很多学者研究了地震波场的数值模拟方法，以得到解析解的一种近似解，并且对 大多数较复杂的模型都可能有解， 因此研究各种数值模拟方法在波传播规律的研 究中占有非常重要的地位，并被普遍采用。 1.3 有限差分法正演模拟方法的发展有限差分法正演模拟方法的发展 Alterman 和 Karal(1968)首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数 值模拟中，此后 Boore(1972)又将有限差分法用于非均匀介质地震波传播的模拟。 Alford 等(1974)研究了声波方程有限差分法模拟的精确性，到 70 年代中后期,差 分方法己经牢固建立了它在勘探地震

5、学中不可替代的地位，发展愈加成熟，与差 分方法相关的理论和技术,如频散现象、稳定性、吸收边界条件等技术也逐步发 展完善， 从而使有限差分法成为贯穿整个地震勘探学中重要的一种数值求解方法。 较为先进的交错网格最早由 Madariaga.R(1976)提出， 应用交错网格模拟弹性 介质内圆形扩展破裂产生的波动， virieux(1984 和 1986)在模拟各向同性介质中的 SH 波和 P-SV 波时也使用了这种差分网格，采用的是二阶时间精度、二阶空间精 度，在不增加计算工作量和存储空间的前提下，和常规网格相比局部精度提高 4 倍，收敛速度也较快，但精度仍待提高，同时空间网格间距也不能太小，否则影 响 计 算 效率 。在 解决 精度 和计 算效 率这 一矛 盾方 面， Dablain(1986) 和 Munietal(1990)讨论了用高阶差分方程解决声波正演模拟问题，在高阶方程情况 下，网格间距可以取得很大，但计算精度并不比二阶差分方程小网格间距时低， 有效的提高了计算精度， 同时网格间距的增大可以大大降低对计算机内存的需要、 缩短计算时间，提高计算效率。Bayliss(1986)和 L

6、evander(1955)采用了四阶空间有 限差分法，将这种差分网格的精度提高，进而合成弹性波传播的地震记录。此 后,crase(1990)又将这一方法运用到求解二阶弹性波方程中， 该方法的最大优点是 可以根据需要采用合适阶数的时间和空间差分精度。 董良国、马在田等(2002)给出了一阶速度一应力弹性波方程的交错网格高阶 差分解法,并且给出了稳定性条件和吸收边界条件方法的介绍;裴正林(2004)将交 错网格高阶差分解法应用于任意起伏地表弹性波方程,通过泰勒级数展开式，研 究了空间导数的任意偶数阶精度展开式和相应差分系数计算式。 1.4 文章有关概念文章有关概念 地震波场的数值模拟：是指在已知地下介质结构模型和相应参数的情况下， 利用理论计算的方法模拟研究地震波在地下介质中的传播规律， 合成地震记录的 一种方法。 中国地质大学（武汉）地空学院 本科毕业实习报告 波动方程数值求解法：它是对计算区域进行离散网格化，通过数值求解描述 地震波传播的波动方程，得到波动方程的精度较高的近似解析解，进而模拟地震 波的传播。 有限差分法：是对弹性介质模型，也就是对计算区域先进行离散网格化，将 描述介质中

7、传播的波动微分方程，利用微商和差商的近似关系，直接化为有限差 分方程来求解，模拟波的传播。 块状模型：是指具有一定速度和密度的地质体，它是一个相对独立的个体， 对于二维地质模型， 块可以看成是由相交界面或者相交界面与模型边界构成的封 闭区域。 二、文章概述二、文章概述 2.1 该论文研究内容概述该论文研究内容概述 总的来说该论文用了交错网格高阶有限差分法进行了弹性波波场数值模拟。 文章先从泰勒级数展开式出发，通过交错网格的半程计算，系统地推导了一 阶位移一应力弹性波波动方程， 以及时间导数的显式差分格式和空间导数的任意 偶数阶精度展开式、相应差分系数的计算式，进而得到一阶位移一应力弹性波方 程的任意偶数阶时间和空间精度的交错网格差分格式， 基于特征分析法的各边界 及角点处的吸收边界条件差分格式，编程求解波动差分方程，以达到数值模拟的 效果。 数值模拟实验从均匀介质开始， 先研究了水平地表情况下层状各向同性介质 的数值模拟情况， 又研究了用弹性波波动方程模拟起伏地表的各种地震波在各向 同性介质和各向异性介质中的传播现象，实现模拟。 我们知道模拟过程的关键问题是如何更好的消除边界反射。 该

8、论文中的实验 表明有限差分弹性波波场模拟加特征分析法的吸收边界条件具有很好的稳定性 和较高的精度，能够直观的反映地下介质中波场的传播规律，且可以根据不同的 地质模型、不同的精度和速度要求，灵活运用，通用性强、稳定性好。 2.2 一阶位移应力弹性波方程交错网格法原理及公式推导一阶位移应力弹性波方程交错网格法原理及公式推导 2.2.1 一阶位移应力各向同性介质弹性波方程一阶位移应力各向同性介质弹性波方程 地震波在弹性介质中传播的波动特征可以用波动方程来描述， 弹性理论主要 研究物体受力与形变的关系， 而一般波动方程也可以由弹性动力学的三个基本方 程建立，分别是本构方程(又称广义胡克定律)、运动平衡微分方程(又称纳维尔方 程)和几何方程(又称柯西方程)。 1.本构方程本构方程 本构方程是弹性理论的一个基本点，描述了应力与应变的关系，假定了应力 中国地质大学（武汉）地空学院 本科毕业实习报告 与应变之间存在着单值的线性关系，反映介质的固有物理性质。由切应力互等及 应变张量的对称性得表达式为: xy xz yz zz yy xx xy xz yz zz yy xx e e e e e e CCC

9、CCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 (2.1) 其中xx，yy，zz是正应力分量，yz，xz，xy是切应力分量，exx，eyy， ezz，eyz，exz，exy是应变分量，Ci,j(i,j=1,6)为弹性常数。 对于正交各向异性体（TIV、TIH 介质） ，应力与应变的关系表达式可简化为： xy xz yz zz yy xx xy xz yz zz yy xx e e e e e e C C C CCC CCC CCC 66 55 44 333231 232221 131211 00000 00000 00000 000 000 000 (2.2) 此时，正交各向异性体只有 9 个独立常数。 对于各向同性体， (2.2)式中的 C11=C22=C33， C12=C13=C21=C23=C31=C32， C44=C55=C66。 2.运动平衡微分方程运动平衡微分方程 当弹性介质在应力应变状态下处于运动 时，则作用于单元体的面力和体力之和应与 惯性力相平衡。在物体内取一个以 dxdydz 为 棱的为平行六面体，其体积为 dV=dsdydz，如 图 2-1 所示。 对于该六面体，按 x 轴作用力方向应用 牛顿第二定律有： 2 2 t u dxdydzdxdydzFdxdydxdzdydz xzxzxyxyxxxxx (2.3) 应力分量沿距离方向呈线性变化

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