工程力学第八章圆轴的扭转
70页1、实际工程中,有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆;机械中的传动轴等。,传动轴,8.1 扭转的概念与实例,研究对象: 圆截面直杆,受力特点: 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶,且满足平衡方程: SMx=0,变形特征:相对扭转角 fAB,本章研究杆件发生除扭转变形外,其它变形可忽略的情况,并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外,所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,8.2 扭矩与扭矩图,扭矩:MT是横截面上的内力偶矩。 内力由截面法求得。,由平衡方程:,扭矩的符号规定:,按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向,扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正,反之为负。,上述截面的内力(扭矩)为正值,C,解:由于AB、BC两段的扭矩不同,所以要分段计算,(1)计算AB段的扭矩,(2)计算BC段的扭矩,(3)作扭矩图,例8-2图示为一装岩机的后车轴,已知其行走的功率PK=10.5kW,额定转速n=680r/min,机体上的荷载通过轴承传到车轴上,不计摩擦,画出车轴的扭矩图,解:1)计算外力矩,2)计算AB段内力,4)扭矩图,例8-3 一传动轴如图,转速 ;主动轮输入
2、的功率P1= 500 kW,三个从动轮输出的功率分别为:P2= 150 kW,P3= 150 kW,P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。,解:1. 计算作用在各轮上的外力偶矩,2. 计算各段的扭矩,BC段内:,AD段内:,注意这个扭矩是假定为负的,3. 作扭矩图,由扭矩图可见,传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内,其值为9.56 kNm。,思考:如果将从动轮D与C的位置对调,试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理?,5kN,2kN,8kN,简捷画法:,在左端取参考正向,按载荷大小画水平线;遇集中载荷作用则内力相应增减;至右端回到零。,FN图(轴力),MT图,讨论:试作扭矩图,MT图,求反力偶:,MT图,8.3 圆轴扭转时的应力与变形,8.3.1. 横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(问题的物理方面),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),圆轴扭转实验现象:,横向:圆周线仍相互平行,且形状和大小不变,间距不变,但相邻圆周发生相对转动,纵向:各纵向线仍然平行,
3、但倾斜了一个角度,由纵向线与圆周线所组成的矩形变成了平行四边形,平截面假定:圆轴扭转变形后,横截面保持为平面,其形状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变,半径仍保持为直线(横截面刚性地绕轴线作相对转动),推知:杆的横截面上只有切应力,且垂直于半径。,取长为dx的微段研究,在扭矩作用下,右端面刚性转动角df,原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。,1. 变形几何条件,g是微元的直角改变量,即半径r各处的剪应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有:,df /dx ,称为单位扭转角。,对半径为r的其它各处,可作类似的分析。,1. 变形几何条件,对半径为r的其它各处,作类似的分析。,同样有: CC= gdx=rdf,2. 物理关系 材料的应力-应变关系,材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。,讨论:圆轴扭转时横截面上的剪应力分布,圆轴几何及MT给定,df/dx为常数;G是材料常数。,-(3),最大剪应力在圆轴表面处。扭转,截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比;,剪应变在ABCD面内,故剪应力与半径垂直,指向由截面扭矩方向确定。,3. 力的平衡关系,应力是内力(扭矩)在微截面
4、上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。,取微面积如图,有:,-(3),利用(3)式,得到:,3. 力的平衡关系,令:,Ir 称为截面对圆心的极惯性矩,只与截面几何相关。,tmax在圆轴表面处,且,WT =IP / r,称为抗扭截面模量。,求IP,WT ?,8.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,讨论内径d,外径D的空心圆截面,取微面积 dA=2prdr, 则有:,a=d/D,空心圆轴,研究思路:,结论:,1)圆轴扭转时,横截面上只有剪应力,剪应力在横截面上线性分布,垂直与半径,指向由扭矩的转向确定。,2) 截面任一处 截面外圆周处(表面) tP=MTr/IP tmax=MT/WT,讨论:,2)下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?,1)已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同,其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同, 各段应力是否相同? 变形是否相同?,相同,相同,不同,8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态,研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元,左右二边为横截面,上下二边为过轴线的径向面。,A,A的平衡?,SMC(F)=tdxdy-t
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