几何最值问题总结
5页1、优立方数学:http:/ 专注数学思维训练!专注数学思维训练!第 1 / 5页 几何最值问题总结几何最值问题总结 基本思想:基本思想: 1、利用轴对称转化为:两点之间的距离两点之间,线段最短(将两点之间的折线段转化为两点之间 的直线段); 2、利用三角形两边之和大于第三边。两边之差小于第三边; 3、利用一点到直线的距离:垂线段最短将点到直线的折线段转化为点到直线的垂线段; 4、利用特殊角度(30,45,60)将成倍数的线段转化为首尾相连的折线段,再转化为两点之间的 直线段最短。 5、找临界的特殊情况,确定最大和最小值。 基本类型:基本类型: 一、直接利用公理一、直接利用公理/定理求最值定理求最值 1、利用两点之间线段最短、利用两点之间线段最短 问题问题 1:如图,有:如图,有 A、B、C、D 四个村庄,现准备打一口井,使得水井到四个村庄的距离之和最短,请确四个村庄,现准备打一口井,使得水井到四个村庄的距离之和最短,请确 定水井的位置。定水井的位置。 问题解析:如图,连接 AD 和 CB,AD 和 CB 的交点就是所求的水井的位置所在点。 此时最短的距离就是:AD+CB 的长度。 策略分
2、析:如果不在 E 点,比如说在 T 点,那么根据三角形两边之和大于第三边得到: AT+DTAD,且 CT+BTCB,于是 AT+DT+CT+BTAD+CB。所以水井所在位置只能 在 AD 与 CB 的交点处,才能使其到四个村庄的距离之和最小。 问题问题 2:边长为:边长为 a 的正三角形的正三角形 ABC 在第一象限,两顶点在第一象限,两顶点 A、B 分别在分别在 x 轴上和轴上和 y 轴上移动,点轴上移动,点 C 在第一象在第一象 限,那么点限,那么点 C 到原点到原点 O 的最大距离是的最大距离是_ 问题解析:点 C 到原点 O 的距离,直接连接 OC 肯定不能保证其是最大值。 但是注意:直角AOB 的斜边 AB 是等边三角形 ABC 的一边,等于 a,而直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半,就是 a/2,并且等边ABC 边上的中线 也是定值,所以设 AB 边上的中点为 D,连接 OD,CD,则 OD=a/2,CD=, 在一般情况下,当 O、D、C 不在一条直线上(不共线)时,总有 CD+CDOC, 所以当 O、D、C 三点共线时,OC=CD+OD,取得最大值:a/2+ 策略分析
3、:不能直接转化为两点之间的距离的题目,可以利用几何图形的性质转化为“折线和”,在利用 三角形三边长短关系或两点之间线段最短的性质得到结论。 优立方数学:http:/ 专注数学思维训练!专注数学思维训练!第 2 / 5页 2、利用点到直线的距离中垂线段最短、利用点到直线的距离中垂线段最短 问题:问题:ABC 中,一点中,一点 P 在边在边 AC 上运动,若上运动,若 AB=AC=5,BC=6,则,则 AP+BP+CP 的最小值为的最小值为_ 问题解析:因为 AB=AC=5,所以 AP+CP=5 是定值,于是 AP+BP+CP 要取得最 小值,就只需要 BP 取得最小值。显然 BP 是 AC 所在直线外一点 B 到直线 AC 的距离,可知点到直线的距离中垂线段最短,所以当 BPAC 时,BP 最短。 策略分析:我们通常需要将一些定长的线段剔除掉,专注于去考虑变化的线 段的取值,转化为定点到定直线的距离,再利用“点到直线的距离中,垂线段最短”来求解。 几何最值中,经常会利用对称、旋转、平移等变换将那些比较分散的线段转移到适当的位置(一般而言, 这些适当的位置包括:构成定点到定直线的直线或者折
4、线距离、构成两点之间的直线或者折线距离:总体 思想是:移动后的线段最好要首尾相连,构成一条首尾相连的折线段或直线) 二、利用轴对称型二、利用轴对称型 1、原始模型:牛饮水模型(一定直线、原始模型:牛饮水模型(一定直线+两定点两定点+一动点:两定点在直线的同侧)一动点:两定点在直线的同侧) 模型描述模型描述:点点 A 是农场是农场,现在需要将牛牵到河现在需要将牛牵到河 MN 处去饮水处去饮水,然后在赶到然后在赶到 B 处的草场去吃草处的草场去吃草,那么牛从那么牛从 A 出发,饮水完后再到草场出发,饮水完后再到草场 B,走的最短路程是多少,走的最短路程是多少_ 问题解析:定直线是 MN,两个定点分别是 A、B,一个动点为 P,即牛饮水 的地方。现作 A 点关于 MN 的对称点 A,连接 AB,与 MN 的交点即为牛饮 水的点 P,此时牛所走的路程 AP+BP 最短。 策略分析:如果不作 A 关于 MN 的对称点,那么 AP 和 BP 始终不能利用两点 间线段最短的性质,当作了 A 关于 MN 的对称点 A后,AP 就转化为 AP(AP=AP),求 AP+BP 的最小值就 是求 AP+BP
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