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几何最值问题总结

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  • 卖家[上传人]:206****923
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    • 1、优立方数学:http:/ 专注数学思维训练!专注数学思维训练!第 1 / 5页 几何最值问题总结几何最值问题总结 基本思想:基本思想: 1、利用轴对称转化为:两点之间的距离两点之间,线段最短(将两点之间的折线段转化为两点之间 的直线段); 2、利用三角形两边之和大于第三边。两边之差小于第三边; 3、利用一点到直线的距离:垂线段最短将点到直线的折线段转化为点到直线的垂线段; 4、利用特殊角度(30,45,60)将成倍数的线段转化为首尾相连的折线段,再转化为两点之间的 直线段最短。 5、找临界的特殊情况,确定最大和最小值。 基本类型:基本类型: 一、直接利用公理一、直接利用公理/定理求最值定理求最值 1、利用两点之间线段最短、利用两点之间线段最短 问题问题 1:如图,有:如图,有 A、B、C、D 四个村庄,现准备打一口井,使得水井到四个村庄的距离之和最短,请确四个村庄,现准备打一口井,使得水井到四个村庄的距离之和最短,请确 定水井的位置。定水井的位置。 问题解析:如图,连接 AD 和 CB,AD 和 CB 的交点就是所求的水井的位置所在点。 此时最短的距离就是:AD+CB 的长度。 策略分

      2、析:如果不在 E 点,比如说在 T 点,那么根据三角形两边之和大于第三边得到: AT+DTAD,且 CT+BTCB,于是 AT+DT+CT+BTAD+CB。所以水井所在位置只能 在 AD 与 CB 的交点处,才能使其到四个村庄的距离之和最小。 问题问题 2:边长为:边长为 a 的正三角形的正三角形 ABC 在第一象限,两顶点在第一象限,两顶点 A、B 分别在分别在 x 轴上和轴上和 y 轴上移动,点轴上移动,点 C 在第一象在第一象 限,那么点限,那么点 C 到原点到原点 O 的最大距离是的最大距离是_ 问题解析:点 C 到原点 O 的距离,直接连接 OC 肯定不能保证其是最大值。 但是注意:直角AOB 的斜边 AB 是等边三角形 ABC 的一边,等于 a,而直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半,就是 a/2,并且等边ABC 边上的中线 也是定值,所以设 AB 边上的中点为 D,连接 OD,CD,则 OD=a/2,CD=, 在一般情况下,当 O、D、C 不在一条直线上(不共线)时,总有 CD+CDOC, 所以当 O、D、C 三点共线时,OC=CD+OD,取得最大值:a/2+ 策略分析

      3、:不能直接转化为两点之间的距离的题目,可以利用几何图形的性质转化为“折线和”,在利用 三角形三边长短关系或两点之间线段最短的性质得到结论。 优立方数学:http:/ 专注数学思维训练!专注数学思维训练!第 2 / 5页 2、利用点到直线的距离中垂线段最短、利用点到直线的距离中垂线段最短 问题:问题:ABC 中,一点中,一点 P 在边在边 AC 上运动,若上运动,若 AB=AC=5,BC=6,则,则 AP+BP+CP 的最小值为的最小值为_ 问题解析:因为 AB=AC=5,所以 AP+CP=5 是定值,于是 AP+BP+CP 要取得最 小值,就只需要 BP 取得最小值。显然 BP 是 AC 所在直线外一点 B 到直线 AC 的距离,可知点到直线的距离中垂线段最短,所以当 BPAC 时,BP 最短。 策略分析:我们通常需要将一些定长的线段剔除掉,专注于去考虑变化的线 段的取值,转化为定点到定直线的距离,再利用“点到直线的距离中,垂线段最短”来求解。 几何最值中,经常会利用对称、旋转、平移等变换将那些比较分散的线段转移到适当的位置(一般而言, 这些适当的位置包括:构成定点到定直线的直线或者折

      4、线距离、构成两点之间的直线或者折线距离:总体 思想是:移动后的线段最好要首尾相连,构成一条首尾相连的折线段或直线) 二、利用轴对称型二、利用轴对称型 1、原始模型:牛饮水模型(一定直线、原始模型:牛饮水模型(一定直线+两定点两定点+一动点:两定点在直线的同侧)一动点:两定点在直线的同侧) 模型描述模型描述:点点 A 是农场是农场,现在需要将牛牵到河现在需要将牛牵到河 MN 处去饮水处去饮水,然后在赶到然后在赶到 B 处的草场去吃草处的草场去吃草,那么牛从那么牛从 A 出发,饮水完后再到草场出发,饮水完后再到草场 B,走的最短路程是多少,走的最短路程是多少_ 问题解析:定直线是 MN,两个定点分别是 A、B,一个动点为 P,即牛饮水 的地方。现作 A 点关于 MN 的对称点 A,连接 AB,与 MN 的交点即为牛饮 水的点 P,此时牛所走的路程 AP+BP 最短。 策略分析:如果不作 A 关于 MN 的对称点,那么 AP 和 BP 始终不能利用两点 间线段最短的性质,当作了 A 关于 MN 的对称点 A后,AP 就转化为 AP(AP=AP),求 AP+BP 的最小值就 是求 AP+BP

      5、的最小值,此时 AP 和 BP 就成了首尾相连的折线段。再利用两点之间线段最短的性质,可知 A、P、B 必须共线,AP+BP 才最短,就是线段 AP 的长度。所求的 P 点就是 AP 与 MN 的交点。如果该点 不在 P 点, 而在比如说 T 点, 如图,则有牛所走的路程为 AT+BT=AT+BT, 在ATB 中, 始终有 AT+BTAP。 可知除了 P 的之外的任何一点,都有牛所走的路程大于 AP+BP。 2、一定直线、一定直线+两定点两定点+一动点模型:两定点在直线的同侧一动点模型:两定点在直线的同侧 问题描述:在直线问题描述:在直线 MN 的同侧有两定点的同侧有两定点 A、B,在直线,在直线 MN 上找一点上找一点 P, 使得使得|AP-BP|最大。最大。 问题解析:连接 AB 并延长交 MN 于点 P,此时点 P 就是使得|AP-BP|最 大(此时 AP-BP=AB)的点。 策略分析:两定点在直线同侧,在直线上求一点使两定点到动点的距离只差绝对值最大时,只需要连接两 个定点,并延长使其与直线相交,交点就是要求的点 P。假如不是交点 P,而是另外一点,比如说 T,如图, 那么在A

      6、BT 中,始终有 AT-BTAB,只有当点 A、B、T 不能形成三角形时,AT-BT=AB,这个时候 T 点就 优立方数学:http:/ 专注数学思维训练!专注数学思维训练!第 3 / 5页 在 P 点的位置。 3、一定直线、一定直线+两定点两定点+一动点模型:两定点在直线的异侧一动点模型:两定点在直线的异侧 问题描述:在直线问题描述:在直线 MN 的异侧有两个定点的异侧有两个定点 A、B,在直线上找一点,在直线上找一点 P,使得,使得|AP-BP|的值最大。的值最大。 问题解析:如图,作点 B 关于 MN 的对称点 B,连接 AB,并延长交 MN 于点 P,此时的点 P 就是使|AP-BP|最大的点,|AP-BP|=|AP-BP|=AB。 策略分析:若是求 AP+BP 最小,显然就是连接 AB,求 AB 的长即可。但是求 |AP-BP|的最大值,就需要将 B 转化到和 A 的同侧去。假如不是点 P,而是除 P 点外的另外一点,比如点 T,如图,在ATB中,始终有 AT-BT=AT-BTAB,只有当 A、T、B不能形成三 角形(A、T、B共线时)时才有 AT-BT=AT-BT=AB,此

      7、时点 T 与点 P 重合。 4、两直线、两直线+一定点一定点+一动点模型一动点模型 问题描述问题描述:如图如图,已知两定直线已知两定直线 a 和和 l,其中定直线其中定直线 l 上有一个定点上有一个定点 A,在定直线在定直线 a 上有一个动点上有一个动点 P,请找请找 到使到使 PA 和点和点 P 到直线到直线 l 的距离之和最小的点的距离之和最小的点 P 的位置。的位置。 问题解析:作点 A 关于直线 a 的 对称点 A,再过 A作直线 l 的垂 线 A,交直线 a 于点,交直 线 l 于点,可知就是使得 AP+BP 最小的点 P 的位置。他们的 最小值就是线段 AB0的长度。 策略分析:如左图,只有点 A 是定点,点 P 和 B 都是动点,并且点 A 和最后确定的点 B(垂足,因为先从 A 引一条线段 AP 交直线 a 于点 P,再过 P 作直线 l 的垂线,最后确定出点 B 的位置,所以说点 B 是 A、P、 B 三个点中最后确定下来的)在同一条直线上,此时需要利用对称将定点放在动点 P 所在直线的另一侧, 才能利用点到直线的距离中垂线段最短的性质来求线段和的最小值。除之外的任何

      8、一点,比如说点 P,就 有 AP+BP=AP+BPABAB0,只有当 A、P、B 三点共线,且 AB 垂直于直线 l 时,点 B 与点 B0重合,点 P 与点 P0重合,才能使 AP+BP=AP0+B0P0=AB0,即取得最小值。 5、两直线、两直线+一定点一定点+两动点型模型两动点型模型 问题描述:如图,在AOB 内部有一个定点 P,在 OA 边和 OB 边上是 否存在点 M 和 N,使得PMN 的周长最小? 问题解析:作点 P 关于 OB 的对称点 P,关于的对称点,连接 和,交和于点和,则和就是使得 优立方数学:http:/ 专注数学思维训练!专注数学思维训练!第 4 / 5页 的周长最小的点。 策略分析:通过做点关于和的对称点,就可以将的 三条边转化为三条顺次相连的折线段:,当, ,和共线的时候,这三条折线段的长度和就是两点之间的距离两点之间的 线段长度,此时就是周长的最小值。注意点:将线段转化为顺次相连的折线段之和,再利用两点 之间线段最短来求最小值经常会用到。 6、两直线、两直线+两定点两定点+两动点模型两动点模型 已知两个定点在两条相交线内部,在两条相交线上找两个点,使线

      9、段长度和最小,便是该类问题。基 本思路是:通过轴对称“搬点移线”,把线段移到同一条直线上去解决(或移动到两点之间形成顺次连接 的折线段,再用两点之间线段最短来求最小值) 问题描述问题描述 1:如图两条相交线:如图两条相交线 l1和和 l2的内部有两个定点的内部有两个定点 A 和和 B, 在直线在直线 l1和和 l2上分别找一点上分别找一点 M 和和 N,使得,使得 AM+MN+BN 之和最小。之和最小。 问题解析:作点 A 关于直线 l1的对称点 A,作点 B 关于直线 l2 的对称点 B,连接 A和 B,线段 AB交直线 l1和 l2于点 C 和点 D,则点 C 和点 D 就是使得 AM+MN+BN 之和最小时点 M 和点 N 所在的位置。 策略分析:连接 AM、BN,则 AM=AM、BN=BN,于是我们就把线段 AM、MN、BN 转化成可以压缩成共 线线段的折线段之和了,因为 AM+MN+BN=AM+MN+BNAB,可知只有当 A、M、N、B四点共线的时候, 此时 M 点到达 C 点的位置,N 点到达 D 点的位置,AM+MN+BN=AC+CD+DB=AB,取得最小值,就是线段 AB的长度。 问题描述问题描述 2:在:在MONMON 两边上有两定点两边上有两定点 A A 和和 D D,试在边,试在边 OMOM 和和 ONON 上上 找两个点找两个点 C C 和和 B B,使得折线,使得折线 ABCDABCD 的长度最小。的长度最小。 问题解析:作点 A 关于 ON 的对称点 A,作点 D 关于 OM 的对称 点 D,连接 AD,与 ON、OM 分别交于点 B、C,就是使得折 线 ABCD 长度最小的位置。最小长度是线段

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