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安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考数学文试题含答案解析

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    • 1、1 安徽省六安市毛坦厂中学安徽省六安市毛坦厂中学 2019 届高三届高三 3 月联考月联考 数学文试题数学文试题 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式得到集合 ,再和集合 求交集即可得出结果. 【详解】解不等式得,所以,又, 所以. 故选 C 【点睛】本题主要考查集合的交集,熟记概念即可,属于基础题型. 2.设(, 为虚数单位) ,则的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的运算法则化简,再由复数相等求出,进而可求出结果. 【详解】因为,又,所以, 因此. 故选 A 【点睛】本题主要考查复数的运算,熟记运算法则以及复数相等的充要条件即可,属于基础题型. 3.曲线在点处的切线经过点,则 的值为( ) A. 1B. 2C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 对函数求导,求出

      2、,进而可得切线方程,再由切线过点,即可得出结果. 【详解】因为,所以,故,又, 所以曲线在点处的切线方程为,又该切线过点,所以 ,解得. 故选 C 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,先对函数求导,求出函数在点处的切线方程即可,属于常 考题型. 4.某位教师 2017 年的家庭总收入为 80000 元,各种用途占比统计如下面的折线图.2018 年收入的各种用途占 比统计如下面的条形图,已知 2018 年的就医费用比 2017 年增加了 4750 元,则该教师 2018 年的家庭总收入 为( ) A. 100000 元B. 95000 元C. 90000 元D. 85000 元 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据折线图求得年的就医费用,然后求得年的就医费用,这个费用除以即可求得年家 庭总收入. 【详解】由已知得,2017 年的就医费用为元,故 2018 年的就医费用为 12750 元,所以 该教师 2018 年的家庭总收入为元.故选 D 【点睛】本小题主要考查阅读分析能力,图表分析能力,考查生活中的数学问题,属于基础题. 5.已知,则的值为( ) A. B. C. D. 3 【答案】

      3、A 【解析】 【分析】 先利用正切值求得余弦值,再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】,得, 而. 故选 A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法,考查三角函数诱导公式、二倍角公式,属于基础题. 6.如图是某几何体的三视图,则过该几何体顶点的所有截面中,最大的截面面积是( ) A. 2B. C. 4D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所有截面都是等腰三角形,根据三角形的面积公式可知,当顶角为时,面积取得最大值,由此求得最大 的截面面积. 【详解】将三视图还原,可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥,故过其顶点的截面面积 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图,考查圆锥的截面面积最大值的计算,考查三角形面积公式,属 于中档题. 7.若 是从区间内任意选取的一个实数, 也是从区间内任意选取的一个实数,则点在圆 : 内的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 4 【分析】 由 是从区间内任意选取的一个实数, 也是从区间内任意选取的一个实数,可知点构成正方形 区域,求出正方形的面积以及圆 的面积,即可由面积比得出结果

      4、. 【详解】 因为 是从区间内任意选取的一个实数, 也是从区间内任意选取的一个实数,所以点的所有取 值构成边长为 4 的正方形区域,且正方形面积为; 如图所示,作出满足题意的正方形和圆, 在圆 :内,由可得,所以,所以; 因此, 所以阴影部分面积为, 所以点在圆 :内的概率为. 故选 C 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记公式即可,属于常考题型. 8.函数的部分图象是( ) A. B. C. D. 【答案】B 5 【解析】 【分析】 先令求得,排除 选项.通过的值排除 A 选项.通过的值排除 D 选项.由此得到正确选项. 【详解】当时,由知,选项 C 不正确; 又因为 ,所以选项 A 不正确; 当时,故选项 D 不正确, 可知选项 B 正确.故选 B. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查特殊值法,考查特殊角的三角函数值,属于基础题. 9.已知直线 :与 轴, 轴分别交于点 , ,点 在椭圆上运动,则面积的最大值为 ( ) A. 6B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由直线方程求出点 , 坐标,得到长度,再由椭圆方程设出点 坐标,根据点到直线距离公式,求

      5、出三角 形的高,进而可求出结果. 【详解】因为 :与 轴, 轴分别交于点 , ,所以,因此, 又点 在椭圆上运动,所以可设, 所以点 到直线 的距离为(其中), 所以. 故选 D 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,需要用到点到直线距离公式等,属于常考题型. 10.已知锐角的角 , , 的对边分别为 , , ,且,三角形的面积,则的取 值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 6 根据三角形的面积求得边上的高,设,用勾股定理求得的表达式,利用二次函数 求值域的方法求得的取值范围. 【详解】设边上的高为, 则,则.以为直径作圆,显然 在圆外,故为锐角,又 、 为锐角,设,因 为已证为锐角,所以 的取值因 , 为锐角限定,所以,所以 ,对称轴为,由,对称轴时取得最小值,两端是最大值(不能取得) ,可得 的取值范围为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式,考查勾股定理,考查二次函数求值域的方法,属于中档题. 11.在中,过的中点 作平面的垂线,点 在该垂线上,当 时,三棱锥外接球的半径为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【

      6、分析】 先由,可得,因此 为底面外接圆圆心,所以外接球球心在上,记球心 为 ,连结,即可结合勾股定理求解. 【详解】因为,所以,因此 为底面外接圆圆心,又因为平面, 所以外接球球心在上,记球心为 ,连结,设球的半径为 ,则, 所以,又,所以在中,即,解得. 故选 D 7 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算,熟记公式即可,属于常考题型. 12.已知双曲线 :的左,右焦点分别为,右顶点为 ,以 为圆心,( 为坐 标原点)为半径的圆与双曲线 在第一象限的交点为 ,若,且,则双曲线 的离心率 为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意得到,求出,再由双曲线的定义结合求出,两式相等, 即可求出结果. 【详解】由题意可得,因为,所以,又因点 在双曲线的右支上,所以,因为,所以;因此,即 ,所以,解得,因为,所以. 故选 A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率,熟记双曲线的性质即可,属于常考题型. 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分。分。 13.已知向量,若向量与向量 共线,则实数 的值为

      7、_ 【答案】 【解析】 【分析】 先由,得出向量的坐标表示,再由向量与向量 共线,即可求出结果. 8 【详解】因为向量,所以;又,向量与向量 共线,所以,解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型. 14.我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡九千人,南乡五 千四百人,凡三乡,发役五百,意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出 500 人服役,则北乡比南乡多抽 _人 【答案】60 【解析】 【分析】 先由题中数据求出抽样比,确定每乡抽取的人数,进而可求出结果. 【详解】由题意可得,三乡共有人,从中抽取 500 人,因此抽样比为 ,所以北乡共抽取人;南乡共抽取人,所以 北乡比南乡多抽人. 故答案为 【点睛】本题主要考查分层抽样,只需依题意确定抽样比即可求解,属于基础题型. 15.若 , 满足约束条件,则的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先由约束条件作出可行域,再由目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率,结 合图像即可得出结果. 【详解】由约束条件作出可行域如下: 9 因为目标函数表示可行域内的点与

      8、定点连线的斜率,所以由图像可得或 ,由解得;由解得; 所以,因此 的取值范围是. 故答案为 【点睛】本题主要考查简单的线性规划,只需由约束条件作出可行域,分析目标函数的几何意义即可求解, 属于基础题型. 16.已知函数,函数是定义域为 的奇函数,且,则的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意求出,再由是定义域为 的奇函数,求出,进而可求出结果. 【详解】因为,所以,即, 又函数是定义域为 的奇函数,所以, 因此. 故答案为 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,熟记函数奇偶性定义即可,属于基础题型. 三、解答题:共三、解答题:共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题,题为必考题, 10 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共(一)必考题:共 6060 分。分。 17.已知等差数列的前 项和为,公差为. (1)若,求数列的通项公式; (2)是否存在 , 使成立?若存在,试找出

      9、所有满足条件的 , 的值,并求出数列的通项公式; 若不存在,请说明理由. 【答案】 (1);(2)详见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据,求出 ,即可求出结果; (2)由等差数列的前 项和公式和,先得到,再分别取以及 ,逐一验证即可得出结果. 【详解】解:(1)当时,由, 得, 解得, 所以. 所以数列的通项公式为. (2)由题可知, 由,得, 即, 所以. 令时,得不存在; 时,得符合. 此时数列的通项公式为; 时,得不符合; 时,得符合, 此时数列的通项公式为; 时,得符合. 此时数列的通项公式为; 11 时,得不符合,时,得不符合; 时,得不符合,时,均不符合, 所以存在 3 组,其解与相应的通项公式分别为 ,; ,; ,. 【点睛】本题主要考查等差数列,熟记等差数列的通项公式以及前 项和公式即可求解,属于常考题型. 18.如图(一) ,在直角梯形中, 是的中点,将沿折起, 使点 到达点的位置得到图(二) ,点为棱上的动点. (1)当在何处时,平面平面,并证明; (2)若,证明:点 到平面的距离等于点到平面的距离,并求出该距离. 【答案】 (1)详见解析;(2). 【解析】 【分析】 (1)先判断出点为棱中点时,平面平面;再根据面面垂直的判定定理即可得出结论成立; (2)先由(1)得到平面平面,且交线为,再过点作交的延长线于点 ,从而可 得就是点到底面的距离,最后由,即可求出结果. 【详解】解:(1)当点为棱中点时,平面平面. 证明如下: 在图(一)的直角梯形中, 是的中点, 所以. 在图(二)中,有,平面,平面, 所以平面. 又平面, 所以. 12 又,所以. 由于, 为的中点, 所以. 又因为,平面,平面, 所以平面. 又平面, 所以平面平面. (2)图(一)中,由及条件关系, 得, 由(1)的证明可知,在图(二)中有平面. 所以平面平面,且交线为, 所以过点作交的延长线于点 , 由平面平面,可知平面, 所以就是点到底面的距离. 由知, 所以. 设点 到平面的距离为 , 由, 得 , 即, 即得点 到平面的距离等于点到平面距离,且为. 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定,以及点

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