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福建省2019届高三3月模拟数学(文)试题含答案解析

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  • 上传时间:2019-05-05
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    • 1、1 福建省厦门第一中学福建省厦门第一中学 20192019 届高三届高三 3 3 月模拟月模拟 数学(文)试题数学(文)试题 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式求出集合 A,求定义域得出 B,再根据交集的定义写出 AB 【详解】集合 Ax|x23x+20x|1x2, Bx|ylg(3x)x|3x0x|x3, 则 ABx|1x2 故选:A 【点睛】本题考查了集合的基本运算,不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目 2.已知双曲线的一条渐近线为,则双曲线的离心率为( ) A. B. 2C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据双曲线的渐近线方程得到 a,b 的关系,再根据离心率公式计算即可 【详解】双曲线1(a0,b0)的一条渐近线为, , 双曲线的离心率为 e 故选:D 【点睛】本题考查双曲线

      2、的方程和几何性质,考查渐近线方程的运用,考查离心率的求法,考查运算能力, 2 属于基础题 3.中国将于今年 9 月 3 日至 5 日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有 5 人负 责接待,其中 3 人担任英语翻译,另 2 人担任俄语翻译.现从中随机选取 2 人,恰有 1 个英语翻译,1 个俄 语翻译的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用古典概率计算公式计算即可 【详解】从 5 人中随机选 2 人的基本事件总数为恰有 1 个英语翻译,1 个俄语翻译的事件总数为 P(恰有 1 个英语翻译,1 个俄语翻译), 故选:C 【点睛】本题考查了古典概率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 4.已知角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值,再利用两角差的正切公式求得 tan()的值 【详解】角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点(,2) , tan,则 tan()3, 故

      3、选:A 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角差的正切公式,熟记定义与公式,准确计算是关键, 属于基础题 5.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一问题:“今有蒲生一日,长三尺。莞生一日,长 一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等?” (蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物) 3 现欲知几日后,莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题,设计下面的程序框图,输入,.那么在 处应填( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图,即可求解 【详解】由题意, S 表示莞高,T 表示蒲高,现欲知几日后,莞高超过蒲高一倍,故处应填 S2T? 故选:B 【点睛】本题考查程序框图,考查学生的读图能力,比较基础,读懂程序的功能是关键. 6.实数 , 满足,则的最大值为( ) A. 3B. 4C. 18D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】 画出满足条件的平面区域,求出交点的坐标,结合函数的图象求出 z 的最大值即可 【详解】画出满足条件的平面区域,如图所示: , 由,解得 A(3,4) , 4 由 z4x+3y 得

      4、 l:yxz,平移 l 结合图象得直线 l 过 A(3,4)时,z 最大, z 的最大值是 24, 故选:D 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,准确画出可行域,确定最优解是关键,是一 道中档题 7.定义在 上的连续函数,当时,函数单调递增,且函数的图象关于 直线对称,则使得成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的对称性得到函数 f(x)是偶函数,根据 f(2)0,问题转化为|2m|2,求出 m 的范围即 可 【详解】函数 yf(x1)的图象关于直线 x1 对称, 即函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称,故函数 f(x)是偶函数, 而 f(2)0,故 f(2m)0,即 f(2m)f(2),由题意知函数为增函数,故|2m|2,解得: m4 或 m0, 故选:C 【点睛】本题考查了函数奇偶性,考查转化思想以及函数的单调性,熟练运用函数的奇偶性和单调性解不等 5 式是关键,是一道中档题 8.在平行四边形中,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质,利用平面向量的线性表示

      5、化简, ,再结合数量积运算,即可求出答案 【详解】如图所示, 平行四边形 ABCD 中,AB3,AD2, , , 若12, 则()() 322232cosBAD12, cosBAD,又BAD(0, ) BAD 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理,平面向量的数量积运算,将向量表示为是关键,基 础题目 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,已知其俯视图是正三角形,则 6 该四棱锥的外接球的表面积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据四棱锥的三视图知该四棱锥为底面为矩形,高为的四棱锥,放入长方体,设该四棱锥的外接球球心为 O,求出外接球的半径,计算外接球的表面积 【详解】根据四棱锥的三视图,知该四棱锥为底面为矩形,高为的四棱锥; 且侧面 PAB底面 ABCD,如图所示; 放入长方体(图 2 所示) ,长方体的长 CD=2,宽为,高为 设该四棱锥的外接球球心为 O,则 过 O 作 OM平面 PAB,M 为PAB 的外心, 作 ON平面 ABCD,则 N 为矩形 ABCD 对角线的交点; OM,ON; 外接球的半径满足

      6、R2ON2+AN2, 外接球的表面积为 S4R24 故选:A 【点睛】本题考查了由空间几何体三视图,外接球问题,准确还原几何体,将四棱锥放到长方体中是关键, 7 是综合性题目 10.已知抛物线 :的焦点为 ,准线为 , , 是 上两动点,且( 为常数) ,线段 中点为,过点作 的垂线,垂足为 ,若的最小值为 1,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图,过点 A,B 分别作准线的垂线 AQ,BP,垂足分别是 Q,P 设|AF|=a,|BF|=b,连 AF,BF 由抛物线定义得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b 在中,由余弦定理得 ,当且仅当,即时等号成立 的最小值为 1, ,解得, 选 C 点睛: (1)抛物线定义在解题中的两个应用:当已知曲线是抛物线时,可利用抛物线上的点 M 满足定义,它到准线 的距离为 d,则|MF|d,利用此结论可解决有关距离、最值、弦长等问题当动点满足的几何条件符合抛 物线的定义时,可根据定义得到动点的轨迹是抛物线,进而可求得抛物线的方程 (2)应用基本不等式求最值时,一定要

      7、注意不等式使用的条件,当所给式子不满足条件时需要通过变形得到 所需要的形式,然后再用不等式求解 8 11.已知数列的前 项和为,直线与圆交于,两点,且 .若对任意恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知得到关于数列an的递推式,进一步得到Sn+2是以+2 为首项,2 为公比的等比数列求出数列an的 前 n 项和为 Sn,进一步求得数列an的通项,然后利用错位相减法求得,代入 an2+2,分离参数 ,求出的最大值得答案 【详解】圆心 O(0,0)到直线 yx2,即 xy20 的距离 d2, 由 d2r2,且, 得 22+Sn2an+2,4+Sn2(SnSn1)+2, 即 Sn+22(Sn1+2)且 n2; Sn+2是以+2 为首项,2 为公比的等比数列 由 22+Sn2an+2,取 n1,解得2, Sn+2(+2)2n1,则 Sn2n+12; (n2) 2 适合上式, 设 , , 所以 . 所以,若对任意恒成立, 即对任意恒成立,即对任意恒成立. 设,因为,所以,故的最大值为 9 因为,所以. 故选:B 【点睛】本题考查数列通项公

      8、式,数列求和,数列的最值,不等式恒成立问题,考查数学转化思想方法,训 练了利用错位相减法求数列的前 n 项和,考查直线与圆的位置关系,是中档题 12.已知 , 为动直线与和在区间上的左,右两个交点, , 在 轴 上的投影分别为 , .当矩形面积取得最大值时,点 的横坐标为,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意知,P 与 Q 关于直线对称,设 P(x,sinx) ,则矩形 PQRS 的面积为 S(x)(2x) sinx, (0x) ,再利用导数求得矩形面积 S(x)的最大值,结合零点存在定理和得的范围 【详解】由题意知, 与 关于直线对称,设,则, , ,在区间上单调递减, 且,在区间存在唯一零点,即为. 令得:,即. 由不等式得:,解得:, 故选:A. 【点睛】本题考查函数与导数综合,零点,不等式等,三角函数的图象与性质,考查数形结合思想、转化与化 归思想,考查逻辑推理能力,属于中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分分. . 13.复数 满足( 为虚数单位) ,则 的共轭

      9、复数为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由复数代数形式的除法运算得 z,再由共轭复数得答案 10 【详解】由得 z, 故答案为: 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念,准确计算是关键,是基础题 14.是等差数列,其前 项和为,的最大值为_ 【答案】30 【解析】 【分析】 设等差数列an的公差为 d,根据,可得 3d15,3+6d15,解得 d,令,解得 n,进而得出的最大值 【详解】设等差数列an的公差为 d, 3d15,3+6d15, 解得 d5,15 an155(n1)205n, 由解得 3n4 则的最大值为31530 故答案为:30 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,数列和的最值,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题 15.直三棱柱中,直线与平面所成角等于,则三棱 柱的侧面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意,B,60,求出底面的边长,即可求出三棱柱 ABC的侧面积 【详解】由题意,面B,60,B,AB , 11 三棱柱 ABC的侧面积为(2)1, 故答案为 【点睛】本题考查三棱柱的侧面积,线面位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题 16.若实数 , , 满足,则的最小值是_ 【答案】1 【解析】 【分析】 (a2b1)2+(aclnc)20,可得 a2b+1,ac+lnc.,得,故|bc|, 令 f(c)1+clnc(c0) ,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可求解 【详解】(a2b1)2+(aclnc)20,a2b+1,

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