江苏省南京市13校2019届高三数学12月联合调研测试试题含答案解析

1、- 1 - 江苏省南京市江苏省南京市 13 校校 2019 届高三届高三 12 月联合调研测试月联合调研测试 数学试题数学试题 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分分. .请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. . 1.全集，集合， ，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合的基本运算，先求出 AB，再求其补集即可 【详解】全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，3,4，B3，5，AB3， 则U（AB）1，2，4，5， 故答案为：1，2，4，5 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题 2.复数（为虚数单位）的模为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可 【详解】复数的模为 故答案为： 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题 3.在平面直角坐标系中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 【答案】2 【解析】 试题分析：由题意，. 考点：双曲线的标准方程及其几何性质

2、. 4.已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料，从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁 饮料的概率是_. 【答案】 - 2 - 【解析】 【分析】 先求出从 4 瓶饮料中随机抽出 2 瓶的所有的抽法种数，再求出取出的 2 瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立 事件的概率即可求得. 【详解】从 4 瓶饮料中随机抽出 2 瓶，所有的抽法种数为 6（种） ， 取出的 2 瓶不是果汁类饮料的种数为 1（种） 所以所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 P1 故答案为： 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概 率和等于 1,属于基础题. 5.如图程序运行的结果是 【答案】 【解析】 试题分析：初始条件， ；运行第一次， ， ；运行第二次， ， ；运行第三次， ， 满足条件，停止运行，所以输出的， 所以答案应填： 考点：程序框图 6.如图是样本容量为 200 的频率分布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 【答案】64 【解析】 试题分析：样本数据落在内的频率为，所以样本数据落在内的频数

3、为. 考点：频率分布直方图. 7.设等比数列的前项积为，若，则的值是_. 【答案】2 【解析】 【分析】 由 P12=32P7，得 a8a9a12=32，再利用等比数列的性质，可求 a10 【详解】等比数列an的前 n 项积为 Pn，且 P12=32P7，a1a2a3a12=32a1a2a3a7， 即 a8a9a12=32，由等比数列的性质，得（a10）5=32，解得 a10=2 - 3 - 故答案为：2 【点睛】本题考查等比数列an的前 n 项积，考查等比数列的性质，属于基础题 8.已知直线、与平面、 ， ， ，则下列命题中正确的是_（填写正确命题对应的序号）. 若，则 若，则 若，则 若，则 【答案】 【解析】 【分析】 列举反例，利用面面垂直的判定定理，利用面面垂直的性质定理，即可判断 【详解】如图所示，设 c，lc，mc 满足条件，但是 与 不平行，故不正确； 假设 ，l，ll，lm，则满足条件，但是 与 不垂直，故不正确； 由面面垂直的判定定理，若 l，则 ，故正确； 若 ，n，由面面垂直的性质定理知，mn 时，m，故不正确 综上可知：只有正确 故答案为： 【点睛】熟练掌握线

4、面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键否定一个命题，只要举出一个反 例即可，属于中档题 9.已知， ，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得 cos2 和 sin2，代入 sin（2）sin2cos2，计算 可得 【详解】cos（+） ，且 （0， ） ，+（， ） ，sin（+）， sin2cos（2+）12 ， cos2sin2（+）2sin（+）cos（+）， sin（2）sin2coscos2sin， 故答案为： 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于中档题 10.在等腰三角形中，底边， ， ，若，则_. - 4 - 【答案】 【解析】 【分析】 由 ，得 D 是 AC 的中点，利用已知条件求出 BA 的长度，求出 cosB，即可的值 【详解】因为D 是 AC 的中点 ， 且 所以 ，因为在等腰三角形中，底边，得 AB= 所以 cosB = 且 所以 = 2 52 故答案为： 【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考查计算能力，属于基础题. 11.已知，若

5、过轴上的一点可以作一直线与相交于，两点，且满足，则的取值范围为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由圆的方程，可得 M（1，4）且半径为 2，由 PABA，利用圆的几何性质得动点 P 到圆 M 的最近的点的距离 小于或等于 4，由此建立关于 a 的不等式，解得即可 【详解】圆 M：（x1）2+（y4）24，圆心为 M（1，4） ，半径 r2，直径为 4，故弦长 BA 的范围 是（0，4又PABA，动点 P 到圆 M 的最近的点的距离小于或等于 4， 圆与 x 轴相离，可得 P 到圆上的点的距离恒大于 0 P 到 M 的距离小于或等于 6，根据两点间的距离公式有： ， 解之得 12a1+2，即 a 的取值范围为12，1+2 故答案为：12，1+2 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，转化为数形 结合的数学思想，属于中档题 12.如图,在三棱锥中,、 、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、 、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体 积.若,且恒成立,则正实数的最小值为_. 【答案】1 【解析】 - 5 - PA、PB、PC 两两垂直，且 P

6、A=3PB=2，PC=1=+x+y 即 x+y=则 2x+2y=1，又，解得 a1 正实数 a 的最小值为 1 13.已知的三边长， ，成等差数列，且，则实数的取值范围是_. 【答案】 . 【解析】 【分析】 由 a，b，c 成等差数列，设公差为 d，则有 abd，cb+d，代入已知等式求出 b 的最大值,由三角形三边 关系列出不等式，整理后求出 b 的范围，即可确定出满足题意 b 的范围 【详解】设公差为 d，则有 abd，cb+d，代入 a2+b2+c263，化简可得 3b2+2d263， 当 d0 时，b 有最大值为 ， 由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即 a+bc， 整理得：b2d， 可得：3b2+2（）263，解得：b3 ，则实数 b 的取值范围是（3， 故答案为：（3， 【点睛】本题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的 关键，属于中档题. 14.已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期 函数，若函数是上的 2 级 2 类周期函数，且当时， ，又函数.

7、若， ，使成立，则实数的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数 f（x）在0，2）上的解析式，可得函数 f（x）在0，2）上的最值，结合 a 级类周期函数的含义， 可得 f（x）在6，8上的最大值，对于函数 g（x） ，对其求导分析可得 g（x）在区间（0，+）上的最小 值，将原问题转化为 g（x）minf（x）max的问题求解 【详解】根据题意，对于函数，当时， ，可得：当时， ，有最大值，最小值，当时， ，函数的图像关于直线对 称，则此时有， 又由函数是定义在区间内的 2 级类周期函数，且； 则在上， ，则有， 则 ， 则函数在区间上的最大值为 8，最小值为 0； - 6 - 对于函数，有 ， 得在上， ，函数为减函数， 在上， ，函数为增函数， 则函数在上，由最小值. 若， ，使成立， 必有，即，解可得，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分分. .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出

8、必要的文字说明、证明过程或演算步骤. . 15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点 B(1，0)，1，且AOCx，其中 O 为坐标原 点 （）若 x，设点 D 为线段 OA 上的动点，求的最小值和最大值； （）若，向量，(1cosx，sinx2cosx)，求的最小值及对应的 x 值. 【答案】 （） （） ，此时. 【解析】 试题分析：（） 设（） ，又 所以 所以 所以当时，最小值为 （）由题意得, 则 因为,所以 所以当，即时，取得最大值 所以时，取得最小值 所以的最小值为，此时. 考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域， 属于中档题 - 7 - 16.如图，在正三棱柱中，点在棱上，,点分别是的中点. （1）求证：为的中点； （2）求证:平面. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 试题分析：（1）要证为的中点，又 AB=AC，即证即可； （）连接，连接交于点，连接，由（）易证，从而问题得证 试题解析： （1） 正三棱柱， 平面， 又平面， ，又， 平

9、面， 又正三棱柱， 平面 平面， ，为的中点 （2） 连接，连接交于点，连接 矩形， 为的中点， 又由(1)得为的中点， 中， 又点，分别是，的中点， 中， ， ， 又平面，平面 平面 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. - 8 - 17.某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为 300,100 名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为. （1）设，写出关于的函数表达式； （2）当最小时，集合地点离点多远？ 【答案】 （1） ， （2）集合地点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为. 【解析】 【分析】 （1）AOD 中，由正弦定理求得 AD、OD，再计算 S300AD+100BD 的值； （2）令函数 y，求导判断函数单调性与最值，从而求出 y 的最小值以及对应 AD 的值和 S 的最小值 【详解】 （1）因为在中， ， ，所以由正弦定理可知， 解得， ，且， 故 ， （2）令，则有，令得 记， ，列表得 0 极小值 可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为， 当时，此时总路程有最小值. 答：当集合点离出发点的距离为时，总路程最短，

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