VAR模型、协整和VEC模型-yukz模板

1、VAR模型、协整和VEC模型1. VAR（向量自回归）模型定义2. VAR模型的特点3. VAR模型稳定的条件4. VAR模型的分解5. VAR模型滞后期的选择6. 脉冲响应函数和方差分解7. 格兰杰（Granger）非因果性检验8. VAR模型与协整 9. VAR模型中协整向量的估计与检验10. 案例分析1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。1. VAR（向量自回归）模型定义以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例， y1, t = c1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1t y2, t = c2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2t 其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是， =+ 设Yt =, c =, P1 =, ut =

2、,则， Yt = c + P1 Yt-1 + ut (1.3)含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W)其中，Yt = (y1, t y2, t yN, t)， c = (c1 c2 cN) Pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t uN t),不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。2. VAR模型的特点（1）不以严格的经济理论为依据。（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。（3）VAR模型对参数不施加零约束。（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。 附： 图1 油

3、价与静态拟合值 图2 油价与静态拟合值3. VAR模型平稳（稳定）的条件对于VAR(1)，Yt = c + P1 Yt-1 + ut模型稳定的条件是特征方程 |P1-l I |=0的根都在单位圆以内，或相反的特征方程|ILP1|= 0的根都要在单位圆以外。对于k1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。Yt = C + A Yt -1 + Ut模型稳定的条件是特征方程 |A-lI| =0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。与单变量时间序列的情况类似，我们可以来考察VAR（p）的单位根的存在性。为了说明这个问题，首先让我们来看一个二元时间序列的VAR（1）模型。 即有当的根在单位圆上，则该序列是非平稳的。所以作为一个多变量的时间序列，其平稳的充分必要条件是根在单位圆之外。附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut 再配上如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt-k+1 = Yt-k+1把以上k个等式写成分

4、块矩阵形式，=+ 其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为Yt = C + A Yt -1 + Ut 附：VAR模型的特征根4. VAR模型的分解以VAR(1)模型 Yt = c + P1 Yt-1 + ut 为例，用递推的方法最终可把Yt分解为三部分：Yt = (I + P1 + P12 + + P1t-1) c + P1t Y0 + ut-i = (I-P1)-1c + P1t Y0 + ut-i5. VAR模型滞后期的选择从原则上讲，我们应该从VAR模型的自相关函数和偏自相关函数的特征来考虑模型的识别问题，但是从实用的角度讲，要在多元情况下把ACF和PACF很直观的讲清楚，是一件不容易的事情，所以，在实际应用中，采用逐步升阶的方法，找出最恰当的模型阶数。假定我们已经估计了几个VAR(p)模型，阶数从1到k。现在我们可以来研究这些模型的残差的估计值。我们知道对一个AR模型来说，无谓的升阶，达到了非常小的残差，是以牺牲自由度为代价的。使二者达到一个最佳的平衡点的一个有用的标准就是Akaike和Schwarz信息准则函数，当然还有其它准则，我们一并列在下面。1 用F统计量选择k值

5、。F统计量定义为， F( m , T k )2 用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) 3 用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。AIC = -2+ 4用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。SC =-2+5用Hannan-Quinn信息准则选择k值。附：选择k值评价结果是建立VAR(2)模型。例在Eviews中VAR的估计的相关操作1、 选择Quick/Estimate VAR2、在Lag intervals对话框中键入方程右边滞后期数1 21 2表示在方程的右边所有的变量均滞后两期。 键入1 2 4 5 9 9的意思是所有方程右边的变量滞后期数为：1 2 4 5 9。3、键入内生或外生变量名在适当的编辑框endogenous：内生变量框exogenous：外生变量框4、选择模型类型（Var specification）Unrestricted VAR （无约束向量自回归）Vector Error Correction（向量误差校正）5、在Include intercept选

6、择是否包含常数项6. VAR模型的脉冲响应函数和方差分解(1)脉冲响应函数:在实际应用中，由于VAR是非理论模型，它无需对变量做任何先验性约束，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数分析。其基本思想可以通过两变量的VAR(2)来说明。假定误差项满足，假定该系统从0期开始活动，且设第0期误差项，其后冲击均为零，即，称此为第0期给x以脉冲，下面讨论的响应。（1）时， 有，（2） 有，（3） 有，（4）以此类推，可以分别得到， 。称为由的脉冲引起的的响应函数； 。称为由的脉冲引起的的响应函数；对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA()过程。Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + Y s = Y s中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量yj t对应的误差项uj t在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量yit在t + s期造成的影响。 把Y s

7、中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数, s = 1, 2, 3, 称作脉冲响应函数（impulse-response function），脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi, t+s对 uj, t时一次冲击的响应过程。(2)方差分解脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击对模型中内生变量所带来的影响，而方差分析是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化的贡献度，进一步评价不同冲击结构的重要性。因此方差分解给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机误差项的相对重要性的信息，基本思路：VAR中第i个变量可以分解成：由此可以计算出相对方差贡献率，是根据第j个变量基于冲击的方差对的方差的相对贡献度来观测来自第j个变量的冲击对第i个变量的影响。具有如下性质： 、 、 如果较大，意味着第j个变量对第i个变量的影响大；反之则相反。附：脉冲响应函数 图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应附：方差分解图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差分解 图6 油储量的方差分解7. 格兰杰（Granger）非因果性检验

8、格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即( yt | yt -1, , xt -1, ) = ( yt | yt -1, )则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性。 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改善，则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把xt-1 对yt存在非因果关系表述为xt（去掉下标-1）对yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。检验式（VAR模型方程之一）是 H0: b1 = b2 = = bk = 0。检验可用F统计量完成。 F( k, T - k N )注意：滞后期k的选取是任意的。（1）以xt和yt为例，如果xt-1对yt存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果xt-1对yt不存在显著性影响，则应该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。附：格兰杰非因果性检验结果8. VAR模型与协整一个简单的例子。为了说明多维变量的协整关系，我们以一个一阶自回归过程为例讨论有关的问题。模型的等价形式为：其中。当，则，即。容易得到所有分量均为I（1），且没有协整关系；当Rank（）=n，对方程，因为其左边是平稳的序列，右边也应该是平稳序列，是满秩矩阵，故可见本身就是平稳序列。当，根据线性代数的结论，有阶列满秩矩阵和，使有包含个协整关系。该模型成为误差校正模型，我们看到模型在用进行校正。总结起来有三种情形：l 系数矩阵的秩为时，的分量间存在有个协整组合，有个组合仍为I(1);l 系数矩阵的秩为n时，为I(0)向量;l 系数矩阵的秩为0时，

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