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2017北京市高考压轴卷数学(理)附答案解析

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    • 1、- 1 - 2017 北京市高考压轴卷北京市高考压轴卷 理科数学理科数学 第一部分第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题选择题:本大题共本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1 已知全集 U=R,A=x|x24x+30,B=x|log3x1,则 AB=( ) A3Bx|x1 Cx|x1 Dx|0x1 2. 已知数列an为等差数列,且满足 a1+a5=90若(1x)m展开式中 x2项的系数等于数列an的第三项,则 m 的值为( ) A6B8C9D10 3 已知单位向量 , ,满足,则与 夹角的余弦值为( ) ABCD 4.设 x,则“x”是“”的 R2 1 012 2 xx A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) ABCD4 - 2 - 6. 已知函数,曲线上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都

      2、与 轴垂直, 则实数 的取值范围是 A.B.C.D. 7. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosC=,a=1,c=2,则ABC 的面积为( ) ABCD 8. 已知函数,若 mn,且 f(m)=f(n),则 nm 的取值范围是( ) A32ln2,2)B32ln2,2 Ce1,2De1,2) 第第卷(非选择题卷(非选择题 共共 110110 分)分) 二、填空题(共二、填空题(共 6 个小题,每题个小题,每题 5 分,共分,共 30 分)分) 9. 若目标函数 z=kx+2y 在约束条件下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数 k 的取值范围是 10 若按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是 11 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,960,分组后在第 - 3 - 一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中,编号落入区间1,450的人做问卷 A,编号 落入区间451,750的人做问卷 B,其余的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 12.

      3、 直线(t 为参数)与圆 C:(x+6)2+y2=25 交于 A,B 两点,且,则直线 l 的 斜率为 13. 已知直线 l:y=k(x2)与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B 两点,F 为抛物线 C 的焦点,若|AF|=3|BF|,则 直线 l 的倾斜角为 14. 若函数,则不等式的解集是_. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15.(本小题满分 13 分) 已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,casin Cccos A. (1)求 A; (2)若 a2,ABC 的面积为,求 b,c. 16. (本小题满分 13 分) 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒假期间每天平 均学习的时间(单位:小时),统计结果绘成频率分别直方图(如图)已知甲、乙两班学生人数相同,甲 班学生每天平均学习时间在区间2,4的有 8 人 ()求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间10,12的人数; ()从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试,设

      4、 4 人中甲班学生的人 数为 ,求 的分布列和数学期望 17.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥中中,底面 ABCD 是直角梯形,AB/CD,侧面 PABCD 60 ,2,DABABADCD 且为等腰直角三角形,. PAD ABCD底面, PAD90APD - 4 - ()求证: ;ADPB ()求平面与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. PAD 18.(本小题满分 13 分) 已知函数已知函数的定义域为的定义域为,设,设. 2 =-33 x f xxxe-2t, -2 =fm, f tn ()试确定)试确定 t 的取值范围,使得函数的取值范围,使得函数在在上为单调函数;上为单调函数; f x-2t, ()求证:)求证:;mn ()若不等式)若不等式对任意正实数恒成立,求的最大值,并证明对任意正实数恒成立,求的最大值,并证明 72ln1 x f x xk xxk e 为正整数 (解答过程可参考使用以下数据(解答过程可参考使用以下数据) 14 ln. 9 x ln71.95 ln82.08, 19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 E:的离心率为,其右焦点为 F(1,0) (1)求

      5、椭圆 E 的方程; (2)若 P、Q、M、N 四点都在椭圆 E 上,已知与共线,与共线,且=0,求四边形 PMQN 的 面积的最小值和最大值 20.(本小题满分 14 分) 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an2(nN*) (1)求an的通项公式; (2)设,b1=8,Tn是数列bn的前 n 项和,求正整数 k,使得对任意 nN*均有 TkTn恒成 - 5 - 立; (3)设,Rn是数列cn的前 n 项和,若对任意 nN*均有 Rn 恒成立,求 的最小值 试卷答案试卷答案 1A 【分析】求出 A,B 中不等式的解集,找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解:A=x|x24x+30=x|1x3,B=x|log3x1=x|x3, 则 AB=3, 故选:A 2D 【分析】利用等差数列的性质,求出 a3=45,利用(1x)m展开式中 x2项的系数等于数列an的第三项,可 得=45,即可求出 m 【解答】解:数列an为等差数列,且满足 a1+a5=2a3=90,a3=45, (1x)m展开式中 x2项的系数等于数列an的第三项, =45,m=10, 故选 D 3D 【分析】设单位

      6、向量 , 的夹角为 ,根据,得 ( +2 )=0,代入数据求出 cos 的值 【解答】解:设单位向量 , 的夹角为 , , ( +2 )=+2=0, 即 12+211cos=0, 解得 cos=, 与 夹角的余弦值为 故选:D 4.A 5B 【解答】解:如图所示,由三视图可知该几何体为:四棱锥 PABCD - 6 - 连接 BD 其体积 V=VBPAD+VBPCD = = 故选:B 6D 【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义,考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为 曲线上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直,所以有 两个不同的解,令,由得 x2,由得 x 7A 【解答】解:由题意 cosC=,a=1,c=2, 那么:sinC=, cosC=,解得 b=2 由,可得 sinB=, - 7 - 那么ABC 的面积= 故选 A 8A 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图: 若 mn,且 f(m)=f(n), 则当 ln(x+1)=1 时,得 x+1=e,即 x=e1, 则满足 0ne1,2m0, 则 ln(n+1)=m+1,即 m=2ln(n+1)2, 则 nm=n+2

      7、2ln(n+1), 设 h(n)=n+22ln(n+1),0ne1 则 h(n)=1=, 当 h(x)0 得 1ne1, 当 h(x)0 得 0n1, 即当 n=1 时,函数 h(n)取得最小值 h(1)=1+22ln2=32ln2, 当 n=0 时,h(0)=22ln1=2, 当 n=e1 时,h(e1)=e1+22ln(e1+1)=1+e2=e12, 则 32ln2h(n)2, 即 nm 的取值范围是32ln2,2), 故选:A 9. 【答案】 (4,2) 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出 k 的取值 范围 【解答】解:作出不等式对应的平面区域, 由 z=kx+2y 得 y=x+, 要使目标函数 z=kx+2y 仅在点 B(1,1)处取得最小值, 则阴影部分区域在直线 z=kx+2y 的右上方, 目标函数的斜率大于 x+y=2 的斜率且小于直线 2xy=1 的斜率 即12, - 8 - 解得4k2, 即实数 k 的取值范围为(4,2), 故答案为:(4,2) 10.6 【解答】解:由图知运算规则是对 S=2S+1,执行程序框图,

      8、可得 A=1,S=1 满足条件 AM,第 1 次进入循环体 S=21+1=3, 满足条件 AM,第 2 次进入循环体 S=23+1=7, 满足条件 AM,第 3 次进入循环体 S=27+1=15, 满足条件 AM,第 4 次进入循环体 S=215+1=31, 满足条件 AM,第 5 次进入循环体 S=231+1=63, 由于 A 的初值为 1,每进入 1 次循环体其值增大 1,第 5 次进入循环体后 A=5; 所以判断框中的整数 M 的值应为 6,这样可保证循环体只能运行 5 次 故答案为:6 11.10 【分析】由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为 an=9+(n1)30=30n21,由 45130n21750 求得正整数 n 的个数,即为所求 【解答】解:由 96032=30,故由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差数列, 且此等差数列的通项公式为 an=9+(n1)30=30n21 由 45130n21750 解得 15.7n25.7 再由 n 为正整数可得 16n25,且 nz, 故做问卷 B 的

      9、人数为 10, 故答案为:10 - 9 - 12. 【分析】直线(t 为参数)与圆 C:(x+6)2+y2=25 联立,可得 t2+12tcos+11=0,|AB|=|t1t2|=(t1+t2)24t1t2=10,即可得出结论 【解答】解:直线(t 为参数)与圆 C:(x+6)2+y2=25 联立,可得 t2+12tcos+11=0 t1+t2=12cos,t1t2=11 |AB|=|t1t2|=(t1+t2)24t1t2=10,cos2=,tan=, 直线 AB 的斜率为 故答案为 13.或 【分析】设 A,B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E,F,过 B 作 AE 的垂线 BC,在三角形 ABC 中,BAC 等于直线 AB 的倾斜角,其正切值即为 K 值,在直角三角形 ABC 中,得出直线 AB 的斜率 【解答】解:如图,设 A,B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E,F, 过 B 作 AE 的垂线 BC, 在三角形 ABC 中,BAC 等于直线 AB 的倾斜角,其正切值即为 K 值, 设|BF|=n,|AF|=3|BF|,|AF|=3n, 根据抛物线的定义得:|AE|=3n,|BF|=n, |AC|=2n, 在直角三角形 ABC 中,tanBAC=, kAB=kAF= 直线 l 的倾斜角为 根据对称性,直线 l 的倾斜角为,满足题意 故答案为或

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