2017全国卷Ⅲ高考压轴卷 数学（理）附答案解析

1、绝密启封前2017全国卷高考压轴卷理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1设集合M=，则集合M的真子集个数为 A8 B7 C 4 D32.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点的坐标为（） A. B. C. D3.若，则DA B. C. D.4在长为3的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于1的概率等（） A B. C D5已知点A（1，2），B（3，4），C（2，0），D（3，3），则向量在向量上的投影为（）A B C D6.函数图象的大致形状是( )7设是双

2、曲线的两个焦点，点在上，且，若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则的值等于（）A B6 C14 D168若表示不超过的最大整数，则下面的程序框图运行之后输出的结果为（）A48920B49660C49800D518679. 定义在R上的函数满足，则的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2（10）榫卯（sn mo）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为（A） （B） （C） （D）11.已知抛物线上有两点关于直线对称，且，则的值等于（）A B C. D 12设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）第卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 第23题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.若的展开式中的系数为2，则实数的值为_14.ABC中，内角A、B、C对边分别为a、b、c，c2(a

3、b)26，C，则ABC的面积为_15已知三棱锥的顶点在球的表面上，是边长为的等边三角形，如果球的表面积为36，那么到平面距离的最大值为.16.已知方程，有且仅有四个解，则三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(本小题满分12分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.（18）（本小题满分12分）某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队经对本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为，不赔不赚的可能性为，亏损30%的可能性为假设该公司投资本地养鱼场的资金为千万元，投资远洋捕捞队的资金为千万元（）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润的分布列和数学期望（）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半试用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大（19）（本小题满分12分）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，（）求证：；（

4、）求二面角的平面角的余弦值20. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离是到点的距离的倍（）求动点的轨迹方程；（）设直线与（）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由21.已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，.请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为（）解不等式：；（）若均为正实数，且满足，求证：2017全国卷高考压轴卷理科数学题号123456789101112答案BADADBCCBCDB部分题目解析及分析1.考察元素子集的个数问题2解

5、析：z=，故选A.3.三角函数和差问题及弦切互化。4.试题分析：设线段的三等分点分别为，因为点与线段两端点的距离都大于1，所以在线段上，则点与线段两端点的距离都大于1的概率5.向量的运算，夹角及投影问题6.，为奇函数，令，则，选.7.试题分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为，所以，解得；因为点在双曲线上，且，所以，解得；故选C8解析：运行该程序可以得到的结果为：9.考察分段函数及递推关系10.考察三视图及对传统文化的理解11.解析：设直线，即代入得，则，所以.设的中点为，则，所以 ，又点在直线上，所以， 选D12.函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为设函数由图象关于对称得：最小值为13.14.由题意可得c2a2b22ab6cos联立可得ab6，SABCab sinC615.【解析】试题分析：由题意，得到平面距离的最大值为球心到面的距离与球的半径之和；因为球的表面积为，所以球的半径为；又，则，所以到平面距离的最大值为；故填16.（提示，利用函数的对称性）17【解析】：()由题设，两式相减，由于，所以6分

6、（）由题设=1，可得，由()知假设为等差数列，则成等差数列，解得；证明时，为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，（），因此，存在存在，使得为等差数列. 12分18.本小题主要考查频率分布直方图、平均数、随机变量的分布列及数学期望、线性规划等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想满分12分解：（）随机变量的可能取值为0.6y，0，0.3y，随机变量的分布列为00.3y0.60.20.2；（）根据题意得，满足的条件为:由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为M所以本地养鱼场的年利润为千万元.所以明年两个项目的利润之和为作出不等式组所表示的平面区域如右图所示，即可行域.当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.解方程组解得所以的最大值为千万元即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元12分19. （本小题满分12分）解:（）(解法一)：由题意可知，解得，分在中， 分，又

7、是的中点，. 分为圆的直径，.由已知知， . 分. 由可知：，. 6分（）由（）知：，是二面角的平面角 . 8分, , . . 12分(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知.解得. 则，QQOODDBBCCAAGGPP是的中点，可求得. 3分（），. ，. 6分（）由（）知,， . ，.是平面的法向量. 8分设是平面的法向量，由，解得 10分.所以二面角的平面角的余弦值. 12分20.）解：设点的坐标为由题意知化简得所以动点的轨迹方程为（）设直线的方程为，点因为，所以有，由已知得，所以有（1）由，得，（2），（3）由（1）（2）（3）得或所以存在点为21.解：（1）当时，当时，在上为减函数.（2）设，令，则，当时，有，在上是减函数，即在上是减函数，又，存在唯一的，使得，当时，在区间单调递增；当时，在区间单调递减，因此在区间上，将其代入上式得：，令，则，即有，的对称轴，函数在区间上是增函数，且，.即任意，因此任意，.22（本小题满分10分）解：（）曲线：，可以化为，因此，曲线的直角坐标方程为分它表示以为圆心、为半径的圆 分（）法一：当时，直线的参数方程为(为参数) 点在直线上，且在圆内，把代入中得 6分设两个实数根为，则两点所对应的参数为，则， 8分

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