4.8+相似多边形的性质

1、第四章 相似图形,8 相似多边形的性质(1),我是“联想”总裁,你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系及其理由吗?,如图ABCDEF.B =E. 又AMB =DNE =900. AMBDNE. (两角对应相等的两个三角形相似).,相似三角形对应高的比等于相似比.理由是:,(相似三角形对应边成比例).,即,相似三角形对应高的比等于相似比.,我是“联想”总裁,你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系及其理由吗?,如图ABCDEF.B =E, BAC=EDF.又AM,DN分别是BAC和EDF的角平分线. BAM=EDN. AMBDNE. (两角对应相等的两个三角形相似).,相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 理由是:,(相似三角形对应边成比例).,即,相似三角形对应角平分线的比等于相似比,我是“联想”总裁,你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关系及其理由吗?,如图ABCDEF. B =E,相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:,(相似三角形对应边成比例).,又AM,DN分别是ABC和DEF的中线.,AMBDNE.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).,且B =

2、E.,即,相似三角形对应中线的比等于相似比.,我是“联想”总裁,你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及其理由吗?,如图,在 ABC与 ABC中, ABCABC,且相似比为k.,相似三角形周长的比等于相似比.理由是:,(相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比).,即,相似三角形周长的比等于相似比.,我是“联想”总裁,你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其理由吗?,如图六边形ABCDEF六边形A1B1C1D1E1F1,且相似比是k.,相似多边形周长的比等于相似比.理由是:,即,相似多边形周长的比等于相似比.,我是“联想”总裁,三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec) 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比，对应周长的比等于相似比. 相似比等于1的两个三角形全等.,注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.,我是“联想”总裁,判定两

3、个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 斜边直角边对应成比例的两个三角形相似. 平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似.,益智的“模型”,两个极具代表性的相似三角形基本模型： “A”型和“X” 型,若ADE ABC,则 DAE=BAC, ADE= A BC, AED=ACB,若ABC DEC,则 A=D, B=E, ACB=DCE,内涵与外延,结论1:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;,如图, 已知ABC, DE BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,则有如下结论:,如图:在ABC中, 如果DEBC，那么ADEABC.,结论2:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.,如图:在ABC中,如果DEBC，,联想的功能,如图, 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似.,根据上面的结论可得到相等的角或对应成比例的线段.,即,有三对相似三角形. ACD ABC CBD

4、 ABC ACD CBD.,常用的成比例的线段有:,如,常用的相等的角有： A =DCB;B =ACD;,让数学模型“双垂直”三角形,成为你的好友!,老师的建议:上面红色字表示出的关系式,是几个重要的结论,若能理解记忆并运用,将会促进能力的提高.,例题欣赏P129,如图所示,在等腰ABC中,底边BC=60cm,高 AD=40cm,四边形PQRS是正方形. (1). ASR与ABC相似吗?为什么? (2).求正方形PQRSR的边长. 解:(1) ASRABC.理由是:,(2).由(1)可知, ASRABC.,四边形PQRS是正方形,RSBC,ASR= B ARS= C,ASRABC.,设正方形PQRS的边长为x cm, 则AE=(40-x)cm,解得,x=24. 所以正方形PQRS的边长为24cm.,(相似三角形对应高的比等于相似比),亲历知识的发生和发展,问题: 如果ABCABC它们面积的比与相似比有什么关系? 如图, ABCABC,相似比是k(如34). (1)ABC与ABC的面积如何表示? (2)ABC与ABC的面积的比是多少? 解:分别作高CD,CD,则,如果两个相似三角形的相似

5、比是k ,通过上面的活动,你得出了什么结论?,梦想成真,相似三角形面积的比等于相似比的平方.,如图,如果ABCABC,且,这个结论在今后的学习中作用很大,若能理解运用,则受益非浅.,敢问“路”在何 方,如图,四边形A1B1C1D1四边形A2B2C2D2,且相似比为k.,(1).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2周长的比是多少? (2).连接相应的对角线A1C1, A2C2所得的A1B1C1与 A2B2C2相似吗? A1C1D1与 A2C2D2呢? 如果相似,它们的相似比各是多少?,(3).设A1B1C1, A1C1D1, A2B2C2, A2C2D2.的面积分别是SA1B1C1, SA1C1D1, SA2B2C2, SA2C2D2,那么,(4).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2.面积的比是多少?,“路”在脚下,如果把四边形换成五边形,那么结论又如何?,? 换成n边形呢? 通过上面的活动,你得出了什么结论?,相似多边形周长的比等于 , 对应对角线的比等于 , 对应三角形相似,且相似比等于 , 对应三角形面积的比等于 ; 相似多边形面积的比等于 .,相似比,相似比

6、,相似多边形的相似比,相似比的平方,相似比的平方,好汉的歌,下图是阳泉市城区外环路示意图,比例尺为1100 000 (1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的实际长度; (2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的?与同伴交流.,点拨 (1)用一根线绳沿图中的外环路重叠放置,此时线绳的长度就是外环路的图上距离; (2)把图上的外环路近似地看作一个矩形.,阳泉是我家 人人热爱它,阳泉市城市广场,是一个因周边环境设计建造的一个不规则多边形,具有和谐的自然美.设计图的比例尺是110 000.图上多边形与实际多边形相似吗?如果相似,它们的相似比是多少?图上多边形与实际多边形的周长比是多少?面积呢?,回味无穷,相似多边形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形对应对角线的比等于相似比. 相似多边形对应三角形相似,且相似比等于相似多边形的相似比. 相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.,知识的升华,习题 祝你成功！,结束寄语,培养回顾联想已学知识,探索学习后续知识的能力,可使每个有自信心的人到达希望的顶峰.,

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