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计量经济学一元线性回归模型统计检验修改

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    • 1、计量经济学,单方程计量经济学模型 理论与方法,第二章 经典单方程计量经济学模型:一元线性回归模型,第一节 回归分析概述 第二节 一元线性回归模型的参数估计 第三节 一元线性回归模型的统计检验 第四节 一元线性回归模型的预测,模型估计式检验的必要性,用最小二乘法计算出估计结果以后,也就是 得到了模型估计式以后,需要对模型估计式 进行具体的评估: 1、模型解释变量选择的正确性需要证明; 2、模型函数形式的正确性需要验证; 3、模型估计的可靠性需要评价;,第三节: 一元线性回归模型的统计检验,一、模型的拟合优度检验 ( 检验) 二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验) 三、模型总体的显著性检验 (F 检验) 四、参数的置信区间(参数的区间估计),一、模型的拟合优度检验,所谓“拟合优度”就是模型对样本数据的拟合程度; 检验方法是构造一个可以表征拟合程度的指标判 定系数又称为样本可决系数; (1)总离差平方和的分解 为了说明可决系数的意义,回顾前面已经讨论过的 样本回归函数,即已知由一组样本观测值 得到一条样本回归直线: 其模型形式: 如果以 的样本均值 为基准,说明 和 对样本 均值 的

      2、偏离程度,如下页图所示:,因变量 的离差分解示意图,(1)总离差平方和的分解,的离差 可分解为两部分: 则: 由于: 由前面的正规方程: ; 得到: 所以有:,(1)总离差平方和的分解,推导出这个式子: 其中: 称为总离差平方和或总平方和(TSS: Total Sum of Squares); 称为回归平方和(ESS:Explained Sum of Squares); 称为残差平方和(RSS:Residual Sum of Squares)。 这样上式就可写为:,一、模型的拟合优度检验,(2)可决系数 (判定系数 ) 如果将式 两边同除以 ,得: 或者: 我们定义回归平方和 在总离差平 方和 中所占的比重为可决系数(也 称决定系数或判定系数),用 表示,即:,一、模型的拟合优度检验,(2)可决系数 (判定系数 ) 或者: 可决系数 的取值范围是: ; 越大, 越小,模型的拟合优度越高;当 时, ;经济含义: 定量地描述了被解释变 量的变化中可以用解释变量的变化来说明的部分,即 模型的可解释程度。 我们有: (1) ; (2) 越大,越接近于 1,模型的拟合优度越高; (3) : ,完

      3、全拟合,这种情况很少发生; (4) : , 与 完全不存在线性关系。,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中 的“假设检验”。 假设检验的基本思想是:是在某种原假设 成立 的条件下,利用适当的统计量和给定的显著性水 平,构造一个小概率事件(小概率事件原理认为: 小概率事件在一次观察中几乎是不可能发生的), 如果小概率事件在一次观察中发生了,就认为“原假 设 成立”是错误的,从而拒绝原假设 ,接受备 择假设 ;如果该小概率事件没有出现,就没有理 由拒绝原假设 ,这时候应该接受原假设。,概率论知识:,在介绍变量的显著性检验(t 检验)之前,补充一 些概率论的知识: (1)如果随机变量 彼此独立,且服从 N (0, 1) ,则: ; (2)如果 , ,且它们相互独 立,则: ; (3) 如果 , ,且它们相互独 立,则:,前面已经介绍过:在 的基本假定的条 件下,参数最小二乘估计量 和 的概率分布表 示为: ; 由于随机误差项的总体方差 未知,用无偏估计量 ( ) 去代替 ,可计算参数估计量 和 的样本标准差: ; 样本标准差 和 是 和

      4、标准差的估计 值。,当样本为大样本(n30)时,用标准差的估计值, 即用样本标准差 和 作 和 的标准化变 换可视为标准正态变量,即: ; 当样本为小样本时,最小二乘估计量 的标准化 变换量 并不遵循正态分布,而是服从 t 分布, 可以证明: ,t 分布的自由度 ; 同理,即 。,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),对于一元线性回归模型而言,通常最关心的问题 是解释变量 对被解释变量 是否有显著的影响, 这就需要进行变量的显著性检验。 计量经济学中,主要是针对变量的参数真值是否 为零来进行变量的显著性检验的。 因此,原假设: ,备择假设: 在 成立时,有: 其中 n 为样本观测值数量,2 为一元线性回归解释 变量的数目,包含常数项。如果是多元:,原假设: ,备择假设: 在 成立时,有: 对给定的显著性水平 ,查自由度为 的 t 分布 表,得到临界值 ,如果 ,则 接受原假设 ,即解释变量对被解释变量没 有显著影响,解释变量在统计上是不显著的;如果 或者 ,则拒绝原假设,而接受备择 假设 ,即可以认为解释变量对被解释变量 有显著影响。 对于参数 的显著性检验,可以用完全类似方

      5、法 进行。,t 分布的双侧检验,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),例题:在前面的关于家庭收入 X 和家庭消费支出 Y 关系的例 2.3 中,由表 2.2 显示的一组样本数据 已估计出了样本回归函数为: 要对模型中的解释变量进行显著性检验,当原假设 设为 时,取显著性水平 ,查 t 分布 表得到临界值 。计算 t 统计 量值,因为 ,其中 ;且: ; 则 ;,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),所以: 所以拒绝原假设 ,可以认为 显著地不等于0, 也就是说解释变量 对被解释变量 存在显著影响。 同理,对参数 的显著性检验类似,因为 其中: 则: 所以拒绝原假设 ,即认为 也显著地不等于 0 。,Eviews软件输出的回归结果,变量(参数) 的显著性 t 检验的步骤:,第 1 步:针对模型中的解释变量提出原假设 和 备择假设 ;原假设 ,备择假设 第 2 步:构造 t 统计量,并计算 t 统计量的值; 第 3 步:给定显著性水平 ,查 t 分布表确定临 界值 ; 第 4 步:比较 t 统计量的值和临界值的大小,来 给出拒绝或接受原假设 的结论; 如果 或 ,则落入

      6、拒绝域,拒绝原假设 如果 ,则在接受域内,接受原假设,三、模型总体的显著性检验 (F 检验),变量显著性 t 检验是检验每一个解释变量对被解 释变量是否有显著影响,因此 t 检验要对每一个回 归系数分别单独进行检验。 模型总体的显著性检验旨在对模型中被解释变量 与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立 作出推断。 t 检验是对单个回归系数的检验,而 F 检验是对方程多个回归系数的联合检验。我们将在 后面多元线性回归部分再详细介绍 F 检验。,四、参数的置信区间(参数的区间估计),回归分析希望通过总体的样本所估计出的参数 和 来替代总体真值 和 。我们用最小二乘法求 出来的参数估计值 和 与总体真值之间实际上是 有偏差的。 假设检验可以通过一次抽样得到的参数估计值来 检验总体真值可能的范围,最常用的假设就是检验 总体参数真值是否为 0 ( t 检验);但它并没有指出参 数估计值 和 到底离总体参数真值有多“近”;也 就是它没有指出参数估计值与总体真值之间的偏差 大小。,四、参数的置信区间(参数的区间估计),要判断样本参数估计值离总体真值有多“近”,也就 是说要判断参数估计值在多大程度

      7、上可以“近似”地替 代总体参数真值,我们往往需要构造一个以这个参数 估计值 和 为中心的“区间”,来看看这个区间以 多大的可能性(多大的概率保证度)包含着总体参数 真值,也就是说,在多大的概率保证度下,总体真值 处在这个区间内。这种方法就是参数的置信区间估 计。 那么我们如何来构造以参数估计值 和 为中心 的这样的一个区间呢?,四、参数的置信区间(参数的区间估计),在变量的显著性检验中,已经知道: 所以对于给定的显著性水平 ,查自由度为 的 t 分布表,得临界值 ;那么 t 统计量值处在 间的概率为 ,表示为: 或: 将 代入上式即:,四、参数的置信区间(参数的区间估计),上式整理得: 因此,我们有 地把握说,参数真值 处 在区间: 内; 此区间称为 的置信区间, 称为置信水平(置 信系数、置信度), 称为显著性水平, 和 分别称为 的下置信限和上置信限。,四、参数的置信区间(参数的区间估计),回归参数 的 的置信区间也可以表示 为: 置信区间的长度为 ,主要取决于回归 参数的样本标准差 ; 越小,则置信区间长 度越小,也就是置信区间越狭窄,则参数估计值 与参数真值 越接近。而且在一定

      8、的概率 下, 参数估计值 与真值 之间的绝对误差充其量不 会超过 ,即: 同理,对参数 的置信区间也有类似的结果:,四、参数的置信区间(参数的区间估计),例题:还是在前面的关于家庭收入 X 和家庭消费 支出 Y 关系的例 2.3 中,根据表 2.2 中的有关样本 数据,用 OLS 法已估计出了样本回归函数为: ,也就是我们得到 了总体回归参数真值 和 的点估计值分别为: , ;并且在假设检验 ( t 检 验) 中已经得到: , ; 给定显著性水平 ,查 t 分布表得到临界值 ,所以参数真值 的 置 信水平下的置信区间为:,四、参数的置信区间(参数的区间估计),即在 的置信水平下,参数 的置信区间为: 即在 的置信水平下(以 的概率保证),居 民的边际消费倾向 处在以估计值 为中心的 区间 中,也就是说居民边际消费倾 向 应该在 与 之间。 同理,可算出参数 的 置信水平下的置信区 间为: 即 置信水平下,参数 的置信区间为,第四节:一元线性回归模型的预测,计量经济学模型的一个重要应用是经济预测,这 也是我们建立模型的目的之一。对于一个估计的回 归模型: 如果给定样本以外的解释变量的观测值 ,通过以 上模型我们可以对被解释变量 的值进行预测,预 测的方法主要有点预测和区间预测。 点预测:就是直接将解释变量的特定值 代入到 估计的回归方程中,就可以得到被解释变量的一个 相应预测值 ,即 ;我们可用 作 为被解释变量 的点预测值。 (点预测就是预测被解释变量 为一个确定的值 );,第四节:一元线性回归模型的预测,区间预测:点预测的方法预测 为一个确定的值 这必然存在着随机误差,而区间预测方法就是预测 在一

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