第01讲 2009年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析（原卷版）
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一、填空（本大题共8题，每小题7分，共56分）1.若函数且，则 2.已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 3.在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 4.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 5.椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 6.若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）8.某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）二、解答题（本大题共3个小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）来源:Zxxk.Com来源:Zxxk.Com9（本题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由10.（本题满分15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，来源:学科网()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和 11.（本题满分15分）求函数的最大和最小值 12.(本题满分50分)如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆13.（本题满分50分）求证不等式：，2，14.(本题满分50分)设，是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数，使得与互素15.（本题满分50分）在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于如果的前三列构成的数表 来源:Z.xx.k.Com来源:学#科#网满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表仍然具有性质 4
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