专题25 矩形菱形与正方形
67页1、矩形菱形与正方形一、选择题1(2016黑龙江大庆)下列说法正确的是()A对角线互相垂直的四边形是菱形B矩形的对角线互相垂直C一组对边平行的四边形是平行四边形D四边相等的四边形是菱形【考点】矩形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案【解答】解:A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;故本选项错误;B、矩形的对角线相等,菱形的对角线互相垂直;故本选项错误;C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形;故本选项错误;D、四边相等的四边形是菱形;故本选项正确故选【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键2. (2016湖北鄂州)如图,菱形ABCD的边AB=8,B=60,P是AB上一点,BP=3,Q是CD边上一动点,将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点为A,当CA的长度最小时,CQ的长为( )A. 5 B. 7 C. 8 D. 【考点】菱形的性质,梯形,轴对称(折叠),等边三角形的判定和性质,最值问题【分析】如下图所示,由题意可知,ABC为等边三角形
2、;过C作CHAB,则AH=HB;连接DH;要使CA的长度最小,则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上,且对称轴PQ应满足PQDH;因为BP=3,易知HP=DQ=1,所以CQ=7. 【解答】解:如图,过C作CHAB,连接DH;ABCD是菱形,B=60ABC为等边三角形;AH=HB=4;BP=3,HP=1要使CA的长度最小,则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上,且对称轴PQ应满足PQDH;由作图知,DHPQ为平行四边形DQ=HP= 1,CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正确的答案为:B【点评】本题综合考查了菱形的性质,梯形,轴对称(折叠),等边三角形的判定和性质,最值问题本题作为选择题,不必直接去计算,通过作图得出答案是比较便捷的方法。弄清在什么情况下CA的长度最小(相当于平移对称轴)是解决本题的关键.3. (2016湖北咸宁) 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )A. (0,0) B.(1,) C.(,) D.(,)【考点】菱形的性质
3、,平面直角坐标系,轴对称最短路线问题,三角形相似,勾股定理,动点问题【分析】点C关于OB的对称点是点A,连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点;连接CP,解答即可.【解答】解:如图,连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点;连接CP,AC,AC交OB于点E,过E作EFOA,垂足为F.点C关于OB的对称点是点A,CP=AP,AD即为CP+DP最短;四边形OABC是菱形, OB=4,OE=OB=2,ACOB又A(5,0),在RtAEO中,AE=;易知RtOEFOAE=EF=2,OF=4.E点坐标为E(4,2)设直线OE的解析式为:y=kx,将E(4,2)代入,得y=x,设直线AD的解析式为:y=kx+b,将A(5,0),D(0,1)代入,得y=x+1,点P的坐标的方程组 y=x,y=x+1, 解得 x=, y=点P的坐标为(,)故选D.【点评】本题考查了菱形的性质,平面直角坐标系,轴对称最短路线问题,三角形相似,勾股定理,动点问题关于最短路线问题:在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一
4、点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点(注:本题C,D位于OB的同侧)如下图:解决本题的关键:一是找出最短路线,二是根据一次函数与方程组的关系,将两直线的解析式联立方程组,求出交点坐标.4. (2016四川资阳)如图,矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O,且EGBC,将矩形折叠,使点C与点O重合,折痕MN恰好过点G若AB=,EF=2,H=120,则DN的长为()A B CD2【考点】矩形的性质;菱形的性质;翻折变换(折叠问题)【分析】延长EG交DC于P点,连接GC、FH,则GCP为直角三角形,证明四边形OGCM为菱形,则可证OC=OM=CM=OG=,由勾股定理求得GP的值,再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP,即可得出答案【解答】解:长EG交DC于P点,连接GC、FH;如图所示:则CP=DP=CD=,GCP为直角三角形,四边形EFGH是菱形,EHG=120,GH=EF=2,OHG=60,EGFH,OG=GHsin60=2=,由折叠的性质得:CG=OG=,OM=CM,MOG=MCG,PG=,OGCM,MOG+OMC=180,MCG+OMC=180
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