专题42 综合性问题

1、综合性问题一、选择题1. （2016湖北鄂州）如图，菱形ABCD的边AB=8，B=60，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A，当CA的长度最小时，CQ的长为（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 【考点】菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题【分析】如下图所示，由题意可知，ABC为等边三角形；过C作CHAB，则AH=HB；连接DH；要使CA的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQDH；因为BP=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7. 【解答】解：如图，过C作CHAB，连接DH；ABCD是菱形，B=60ABC为等边三角形；AH=HB=4；BP=3，HP=1要使CA的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQDH；由作图知，DHPQ为平行四边形DQ=HP= 1，CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正确的答案为：B【点评】本题综合考查了菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题本题作为选择题，

2、不必直接去计算，通过作图得出答案是比较便捷的方法。弄清在什么情况下CA的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键.2（2016江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A6B3C2.5D2【考点】几何问题的最值【分析】以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=46443633=2.5故选C3. (2016四川资阳)如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则mn等于（）A2 B3 C4 D无法确定【考点】三角形的面积【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出mn的值【解答】

3、解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：m+x=9，n+x=6，则mn=96=3故选B4. (2016四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）ABCD【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a0由图象，得0由不等式的性质，得b0a0，y=图象位于二四象限，b0，y=bx图象位于一三象限，故选：C【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键5（2016山东枣庄）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的图象可能是 【答案】B.考点：根的判别式；一次函数的性质.二、填空题1（2016湖北鄂州）如图，AB6，O是AB的中点，直线l经过点O，1120，P是直线l上一点。当APB为直角三角形时，AP .【考点】外接圆，切线，直角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论思想【分析】确定P点在直线l上的位置是解决

4、本题的关键。要使APB为直角三角形，我们就联想到以AB为直径的外接圆，但AB也有可能为直角边，所以要分类讨论。我们将满足条件的P逐一画在图上。如图，P1，P2在以O为圆心的外接圆上，P1，P2在O的切线上，再根据题目的已知条件逐一解答即可。【解答】解：分类讨论如下：（1）在RtA P1B中，1120，O P1=OB，O B P1 =O P1B=30，AP1 =AB=6=3；（2）在RtA P2B中，1120，O P2=OB，P2 B O =O P2B=60，AP2 =AB=cosO B P26=6=3；（3）P3B为以B为切点的O的切线，1120，O P2=OB，P2 B O =O P2B=60，P3O B=60，在RtO P3B中，BP3 =tanP3O B3 =3=3; 在RtA P3B中，AP3 =3；（4）P4B为以A为切点的O的切线，1120，O P1=OA，P1 A O =O P1A=60，P4O A=60，在RtO P4A中，AP4 =tanP4O A3 =3=3. 综上，当APB为直角三角形时，AP3，或3，或3.故答案为：3或3或3.【点评】本题考查了外接圆，切线，直

5、角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论思想注意分类讨论思想的运用；本题难度虽然不大，但容易遗漏. 四种情况中，有两种情况的结果相同。2. （2016湖北咸宁）如图，边长为4的正方形ABCD内接于O，点E是AB上的一动点（不与A、B重合），点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且EOF=90，有下列结论：AE=BF； OGH是等腰直角三角形；四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；GBH周长的最小值为. 其中正确的是_.（把你认为正确结论的序号都填上）. 【考点】正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角形的周长，动点问题，最值问题【分析】连接OA，OB，如图16-1，根据正方形的性质，知AOB=90=EOF，又BOE共用，故可得AOE=BOF，再根据圆心角定理可得AE=BF；故正确； 连接OB，OC，如图16-2，证明OGBOHC，可得OG=OH，即可得出OGH是等腰直角三角形；故正确；如图16-3，过点O作OMBC，ONAB，易证得OGNOHM，因此可得出SOGN=SOHM，故不管点E的位置如何变化，四

6、边形OGBH的面积不变；故错误；过点B作B关于OF的对称点P（易知点P在O上），连接PH，则PH=BH；过点B作B关于OE的对称点Q（易知点Q在O上），连接QG，则QG=BG；连接PQ，易证明PQ过圆心O，则PQ=4，故错误.【解答】解：连接OA，OB，如图16-1，根据正方形的性质，知AOB=90=EOF，AOB-BOE =EOF-BOE，即AOE=BOF，根据相等的圆心角所对的弧相等，可得AE=BF；故正确； （图16-1） （图16-2） 连接OB，OC，如图16-2，则OB=OC， 由知AE=BF ABCD为正方形，AB=BC AB=BC AB-AE=BC-BF 即BE=CF BOG=COH 又OBG+OBC=90，OCH+OBC=90， OBG =OCH 在OGB和OHC中， OBG =OCHBOG=COHOB=OCOGBOHC，OG=OH，又EOF=90OGH是等腰直角三角形；故正确；如图16-3，过点O作OMBC，ONAB，（图16-3） 又正方形ABCD内接于O，OM=ON由知，OG=OH， 在RtOGN和RtOHM中， OG=OH， OM=ONRtOGNRtOHM，S

7、OGN=SOHM，又四边形BMOG公共不管点E的位置如何变化，四边形OGBH的面积不变；故错误；过点B作B关于OF的对称点P（易知点P在O上），连接PH，则PH=BH；过点B作B关于OE的对称点Q（易知点Q在O上），连接QG，则QG=BG；（图16-4）连接PQ，易证明PQ过圆心O，PQ=4，故错误.综上，正确，错误.故答案为：.【点评】本题考查了正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角形的周长，动点问题，最值问题运用圆心角定理是解答的关键；在中连接OB，OC，证明三角形全等是解题的关键；在中，运用证明三角形全等，从而证明面积相等以解决不管点E的位置如何变化，四边形OGBH的面积不变的问题；解答的关键是运用轴对称解决最小周长问题. 作为填空题，解题时要注意技巧.3.（2016四川巴中）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：y=x1的交点坐标为（4，1）【考点】一次函数与二元一次方程（组）【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可【解答】解：二元一次方程组的解为，直线l1：y=x+5与直线l2：y=x1的交点坐标为（4，1），故答案为：（4，1）4.（2016呼和浩特）以下四个命题：对应角和面积都相等的两个三角形全等；“若x2x=0，则x=0”的逆命题；若关于x、y的方程组有无数多组解，则a=b=1；将多项式5xy+3y2x2y因式分解，其结果为y（2x+1）（x3）其中正确的命题的序号为【考点】命题与定理【分析】正确，根据相似比为1的两个三角形全等即可判断正确写出逆命题即可判断正确根据方程组有无数多组解的条件即可判断正确首先提公因式，再利用十字相乘法即可判断【解答】解：正确对应角相等的两个三角形相似，又因为面积相等，所以相似比为1，所以两个三角形全等，故正确正确理由：“若x2x=0，则x=0”的逆命题为x=0，则x2x=0，故正确正确理由：关于x、y的方程组有无数多组解，=，a=b=1，故正确正确理由：5xy+3y2x2y=y（2x25x3）=y（2x+1）（x3），故正确故答案为三、解

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