专题23 直角三角形与勾股定理

1、直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2016四川达州3分）如图，在55的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）ABCD【考点】勾股定理的应用【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中ABD，ADC，ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为故选D2.（2016广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，CD( )A、3 B、4 C、4.8 D、5难易 中等考点 勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质解析 因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为DE为AC边的中垂线，所以DE与AC垂直，AE=CE=4，所以DE为三角形ABC 的中位线，所以DE=3,再根据勾股定理求出CD=5参考答案 D 3. （2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过

2、点B作PQAB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）ABCD【考点】勾股定理；实数与数轴【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案【解答】解：如图所示：连接OC，由题意可得：OB=2，BC=1，则AC=，故点M对应的数是：故选：B4（2016山东烟台）如图，RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，ABC=40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A40B70C70或80D80或140【考点】角的计算【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，只要求出BCD的度数即可解决问题【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，当射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，BCD=40或70，点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD=80或140，故选D5（2016.山东省威海市，3分）如图，在矩形ABCD中

3、，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）ABCD【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到BFC=90，根据勾股定理求出答案【解答】解：连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，则BF=，FE=BE=EC，BFC=90，CF=故选：D6（2016江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A86B64C54D48【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系同理，得出S4、S5、S6的关系【解答】解：如图1，S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2AB2=AC2+BC2，S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3，如图2，

4、S4=S5+S6，S3+S4=16+45+11+14=86故选A【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两条直角7.（2016江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是A3，4，4 B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。解析：由两边之和大于第三边，可排除D；由勾股定理：，当最长边比斜边c更长时，最大角为钝角，即满足，所以，选C。8（2016江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A6B3C2.5D2【考点】几何问题的最值【分析】以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去AB

5、F，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=46443633=2.5故选C9（2016浙江省舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）ABC1D【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】过F作FHAE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，ABCD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论【解答】解：过F作FHAE于H，四边形ABCD是矩形，AB=CD，ABCD，AECF，四边形AECF是平行四边形，AF=CE，DE=BF，AF=3DE，AE=，FHA=D=DAF=90，AFH+HAF=DAE+FAH=90，DAE=AFH，ADEAFH，AE=AF，=3DE，DE=，故选D二、填空题1. （2016湖北黄冈） 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC=3DE=3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=_.A P(C) D E B

6、 F C （第13题）【考点】矩形的性质、图形的变换（折叠）、30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理.【分析】根据折叠的性质，知EC=EP2a=2DE；则DPE=30，DEP=60，得出PEF=CEF=(180-60)= 60，从而PFE=30，得出EF=2EP=4a，再勾股定理，得 出FP的长.【解答】解：DC=3DE=3a，DE=a，EC=2a.根据折叠的性质，EC=EP2a；PEF=CEF， EPF=C=90.根据矩形的性质，D=90，在RtDPE中，EP=2DE=2a，DPE=30，DEP=60.PEF=CEF=(180-60)= 60.在RtEPF中，PFE=30.EF=2EP=4a 在RtEPF中，EPF=90，EP2a，EF4a， 根据勾股定理，得 FP=a.故答案为：a2. (2016四川资阳)如图，在等腰直角ABC中，ACB=90，COAB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：DOE是等腰直角三角形；CDE=COE；若AC=1，则四边形CEOD的面积为；AD2+BE22OP2=2DPPE，其中所有正确结论的序号是

7、【考点】勾股定理；四点共圆【分析】正确由ADOCEO，推出DO=OE，AOD=COE，由此即可判断正确由D、C、E、O四点共圆，即可证明正确由SABC=11=，S四边形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC即可解决问题正确由D、C、E、O四点共圆，得OPPC=DPPE，所以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，由OPEOEC，得到=，即可得到2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明【解答】解：正确如图，ACB=90，AC=BC，COABAO=OB=OC，A=B=ACO=BCO=45，在ADO和CEO中，ADOCEO，DO=OE，AOD=COE，AOC=DOE=90，DOE是等腰直角三角形故正确正确DCE+DOE=180，D、C、E、O四点共圆，CDE=COE，故正确正确AC=BC=1，SABC=11=，S四边形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC=，故正确正确D、C、E、O四点共圆，OPPC=DPPE，2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，OEP=DCO=OCE=45，POE=COE，OPEOEC，=，OPOC=OE2，2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，CD=BE，CE=AD，AD2+BE2=2OP2+2DPPE，AD2+BE22OP2=2DPPE故正确3.（2016广东梅州）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标来为_答案：（6048，2）考点：坐标与图形的变换旋转，规律探索，勾股定理。解析：OA，OB2，由勾股定理，得：AB，所以，OC226，所以，B2（6,2），同理可得：B4（12,2），B6（18,2），所以，B2016的横坐标为：100866048，所以，B2016（6048,2）4. （2016年浙江省温州市）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东

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