工程结构振动与控制第3章
40页1、1,3.1 杆的纵向振动,研究图3.1.1的均匀直杆,其弹性模量为E,截面积为A,材料密度为 , 为单位体积重量, u(x,t)表示t时刻截面x的纵向位移。,第三章 连续弹性体的振动,图3.1.1 杆的纵向振动,2,考察x和x+dx两个断面间的微元。断面x的位移为u,轴向力为T,断面x+dx的位移为 ,轴向力为 ,微元的轴向应变为,(3.1.1),(3.1.2),轴向力,考虑微元dx在轴向力及惯性力作用下的平衡,(3.1.3),把(3.1.2)代入(3.1.3)得,3,记 , 得,(3.1.4),(3.1.5),这就是直杆纵向振动的微分方程,用分离变量法求解,设,代入(3.1.4)得,(3.1.6),此式左边与t无关,右边与x无关。若使等式成立,两边应等于同一个常数。欲得振动形式的解,此常数应为负数,记为 ,于是得到两个方程。,(3.1.7),其解为,(3.1.8),4,另一个方程为,(3.1.9),(3.1.12),(3.1.10),(3.1.11),常数C、D及固有频率 由边界条件确定。,例3.1.1:长l的均匀直杆,两端刚性固定。求固有振型和固有频率。,解:边界条件为,u(0,t
2、)=0; u(l ,t)=0,代入(3.1.5)得,(3.1.13),图3.1.2 两端固定杆纵振,5,代入(3.1.11)得,(3.1.14),C=0,在C=0的情况下,D不应为零,否则 ,对应于杆的静止状态不是我们所要的解。由此解出,(3.1.15),j=0对应于杆的静止状态,故不是我们需要的解。由(3.1.10)得固有频率,把C=0及(3.1.15)代入(3.1.11)得固有振型,(3.1.16),(3.1.17),是任意常数。函数 决定了杆作固有振动的形状,而常数因子 只是把此形状放大或缩小若干倍,这和多自由度系统固有振型的情况是一致的。,6,图3.1.3 两端固定均匀直杆的固有振型,振型图上振幅为零的点称为节点(边界点除外)。随着固有振型阶数的增加,节点数也增多。振型增高一阶,节点也增加一个。而且相邻阶数振型的节点是相互交错分布的。这个结论对各种边界条件都成立,而且对横向振动和扭转振动也成立。,7,将(3.1.17)、(3.1.18)代入(3.1.5)得到固有振动为,(3.1.18),中的 已并入常数 或 、 中。整个杆的固有振动以同一个频率 及相同的初相位 按固有振型 作简
3、谐振动。纵向自由振动的全解由固有振动迭加得到,(3.1.19),常数 、 由初始条件确定。 均匀直杆的纵向强迫振动的方程为: 式中 f(x,t) 为直杆的轴向分布激振力。,(3.1.20),8,研究图3.2.1所示圆轴,扭矩和转角 之间的关系为,(3.2.1),3.2 轴的扭转振动,G是剪切模量, 是圆截面的极惯性矩。作用在微段dx两端的扭矩为T及 ,微段上的惯性力矩为 , 是微段的转动惯量。,图3.2.1 轴的扭转振动,9,方程(3.2.2)与式(3.1.4)的形式完全相同,其解可设为为:,对于圆截面微段,可证明 ,代入上式有:,式中 , 实际上是扭转振动波的传播速度。,(3.2.3),(3.2.4),(3.2.5),(3.2.2),由平衡条件得运动方程为:,则解为:,式中:,10,例3.2.1:求图3.2.2所示带圆盘的圆管的固有频率及固有振型。,(3.2.6),(3.2.7),解:边界条件为 x=0处,x=l处,作用有圆盘的惯性力矩,式中 为圆盘的转动惯量。由(3.2.1)得:,代入(3.2.3) 、(3.2.4)得,图3.2.2 带圆盘的轴的扭转,11,把边界条件(3.2.6)
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