(多元线性回归模型)
67页1、计 量 经 济 学 Econometrics,2015-2016-1,任课教师: 范国斌,第三章 多元线性回归模型,引子:中国汽车的保有量将会达到1.4亿辆吗 ?,中国经济的快速发展,居民收入不断增加,数以百万计 的中国人开始得以实现拥有汽车的梦想,中国也成为世界上 成长最快的汽车市场。 中国交通部副部长在中国交通可持续发展论坛上做出的预 测 :“2020年,中国的民用汽车保有量将比2003年的数字 增长倍,达到1.4亿辆左右”。 什么因素导致中国汽车数量的增长? 显然,影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的,经济增 长、居民收入、消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、 道路发展、内外环境,都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。,2,分析中国汽车行业未来的趋势,应当具体分析这样一些问题: 中国汽车市场发展的状况如何?(用销售量观测) 影响中国汽车销量的主要因素是什么? (如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等) 各种因素对汽车销量影响的性质怎样?(正、负) 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么? 所得到的数量结论是否可靠? 中国汽车行业今后的发展前景怎样?应当如何制定汽车的产
2、业 政策? 很明显,只用一个解释变量很难分析汽车产业的实际发展,简 单线性回归模型不能解决多因素问题的分析,还需要去寻求有 更多个解释变量情况的回归分析方法。,怎样分析多种因素的影响呢?,3,多元线性回归模型,本章讨论: 将简单线性回归的的研究方式推广到多元的情况 多元线性回归模型及古典假定 多元线性回归参数的估计 多元线性回归模型的检验 多元线性回归预测,4,(一) 多元线性回归模型及古典假定 1、多元线性回归模型的意义 一般形式:对于有K-1个解释变量的线性回归模型 注意:模型中的 (j=2,3,-k)是偏回归系数 样本容量为n 偏回归系数: 控制其它解释量不变的条件下,第j个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响,即对Y平均值“直接”或“净”的影响。,5,对偏回归系数的理解,例如 并且 可证明 (证明见古加拉蒂计量经济学第三版附录7A.5) 结论: 只要 , 与 是有区别的。 不仅包括 对Y平均值的“直接”影响,还包括由于 的变动 对Y平均值的“间接”影响。,对比,(误差项),6,7,从残差理解偏回归系数,例如 1、作回归 ,则 , 表示除去 影响后的 2、作回归 ,则 ,
3、表示除去 影响后的 将 对 回归(因 和 的均值为0,为过原点的回归), 则 可以证明,这样估计的 与估计的 是一致的,而 与 是不一致的。 (证明见古加拉蒂计量经济学第四版附录7A.2),7,对比,由 将 、 代入得 由后面将讲的OLS估计量可知,这就是多元回 归中 的估计式,8,证明过程(参考),多元线性回归中的“线性” 指对各个回归系数而言是“线性”的,对变量则可以是线性的,也可以是非线性的 例如:生产函数 取对数 这也是多元线性回归模型,只是这时变量为lnY、lnL、lnK,9,多元总体回归函数 条件期望表现形式: 将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数,如: 注意:这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线 个别值表现形式: 引入随机扰动项 或表示为,10,直观理解(供参考),多元样本回归函数 Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数 或回归剩余(残差): 其中,12,2、多元线性回归模型的矩阵表示,多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值,可 表示为 用矩阵表示,13,总体回归函数 或 样本回归函数 或 其中: 都是有n个元素的列向量 是有k 个 元素的列向量
4、 ( k = 解释变量个数 + 1 ) 是第一列为1的nk阶解释变量数据矩阵 , (截距项可视为解释变量总是取值为1),矩阵表示方式,14,3、多元线性回归中的基本假定,假定1:零均值假定 ( i=1,2,-n) 或 E(u)=0 假定2和假定3:同方差和无自相关假定: 或 假定4:随机扰动项与解释变量不相关 Cov( )=0 k=2,3,-k,(i=j),(ij),0,15,假定5: 无多重共线性假定 (多元中增加的) 假定各解释变量之间不存在线性关系,或各个解释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。 Ran(X)= k Rak(XX)=k 即 (XX) 可逆 假定6:正态性假定,16,(二) 多元线性回归模型的估计,1.普通最小二乘法(OLS) 原则:寻求剩余平方和最小的参数估计式 即 求偏导,并令其为0 即,17,用矩阵表示的正规方程 偏导数 因为样本回归函数为 两边左乘 根据最小二乘原则 则正规方程为,18,OLS估计式 由正规方程 多元回归中 只有两个解释变量时: 注意: 为X、Y的离差,对比,简单线性回归中,19,OLS回归线的数学性质
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