计量经济学第二版-第三章多元线性回归模型
54页1、多元线性回归模型,计量经济学,第三章,2,引子:中国已成为世界汽车产销第一大国,2009年,为应对国际金融危机、确保经济平稳较快增长, 国家出台了一系列促进汽车消费的政策,有效刺激了汽车消费市 场,汽车产销呈高增长态势,首次成为世界汽车产销第一大国。 2009年,汽车产销分别为1379.1万辆和1364.5万辆,同比增长 48.3%和46.15%。 是什么因素导致中国汽车数量的增长? 影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的,经济增长、 消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内 外环境,都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。,3,分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题: 中国汽车市场发展的状况如何?(用销售量观测) 影响中国汽车销量的主要因素是什么? (如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等) 各种因素对汽车销量影响的性质怎样?(正、负) 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么? 所得到的数量结论是否可靠? 中国汽车行业今后的发展前景怎样?应当如何制定汽车的 产业政策? 很明显,只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归
2、分析方法。,怎样分析多种因素的影响?,4,本章主要讨论: 多元线性回归模型及古典假定 多元线性回归模型的估计 多元线性回归模型的检验 多元线性回归模型的预测,5,第一节 多元线性回归模型及古典假定 一、多元线性回归模型的意义 一般形式:对于有K-1个解释变量的线性回归模型 注意:模型中的 (j=1,2,-k)是偏回归系数 样本容量为n 偏回归系数:控制其它解释量不变的条件下,第j个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响,即对Y平均值“直接”或“净”的影响。,5,6,多元线性回归中的“线性” 指对各个回归系数而言是“线性”的,对变量则可以是线性的,也可以是非线性的 例如:生产函数 取对数 这也是多元线性回归模型,只是这时变量为lnY、lnL、lnK,7,多元总体回归函数 条件期望表现形式: 将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数,如: 注意:这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线 个别值表现形式: 引入随机扰动项 或表示为,8,多元样本回归函数 Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数 或回归剩余(残差): 其中,9,多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值,可 表
3、示为 用矩阵表示,9,10,总体回归函数 或 样本回归函数 或 其中: 都是有n个元素的列向量 是有k 个 元素的列向量 ( k = 解释变量个数 + 1 ) 是第一列为1的nk阶解释变量数据矩阵 , (截距项可视为解释变量总是取值为1),矩阵表示方式,11,假定1:零均值假定 ( i=1,2,-n) 或 E(u)=0 假定2和假定3:同方差和无自相关假定: 或用方差-协方差矩阵表示为:,(i=j),(ij),0,12,假定5: 无多重共线性假定 (多元中增加的) 假定各解释变量之间不存在线性关系,或各个解释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值 矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。 Ran(X)= k Rak(XX)=k 即 (XX) 可逆 假定6:正态性假定,12,假定4:随机扰动项与解释变量不相关,一、普通最小二乘法(OLS) 原则:寻求剩余平方和最小的参数估计式 即 求偏导,并令其为0 其中 即,13,14,用矩阵表示的正规方程 偏导数 因为样本回归函数为 两边左乘 根据最小二乘原则 则正规方程为,15,OLS估计式 由正规方程 多元回归的OLS估计量为 当只有两个解释变量时
4、为: 注意: 为X、Y的离差,对比,简单线性回归中,16,回归线通过样本均值 估计值 的均值等于实际观测值 的均值 剩余项 的均值为零 被解释变量估计值 与剩余项 不相关 解释变量 与剩余项 不相关 (j=1,2,-k),16,17,1、 线性特征 是Y的线性函数,因 是非随机或取固定值的矩阵 2、 无偏特性 (证明见教材P101附录3.1) 3、 最小方差特性 在 所有的线性无偏估计中,OLS估计 具有最小方差 (证明见教材P101或附录3.2) 结论:在古典假定下,多元线性回归的 OLS估 计式是最佳线性无偏估计式(BLUE),18,三、 OLS估计的分布性质 基本思想: 是随机变量,必须确定其分布性质才可能进行区间估计和假设检验 是服从正态分布的随机变量, 决定了Y也是服从正态分布的随机变量 是Y的线性函数,决定了 也是服从正态分布的随机变量,19, 的期望 (由无偏性) 的方差和标准误差: 可以证明 的方差协方差矩阵为(见下页) 这里的 (其中 是矩阵 中第 j 行第 j 列的元素) 所以 (j=1,2,-k),的期望与方差,20,其中:,(由无偏性),(由同方差性),(由OL
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