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计量经济学-课件2

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  • 上传时间:2019-04-21
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    • 1、Chapter2 The Simple Regression Model,2.1 Definition of the Simple Regression Model 2.2 Ordinary Least Squares (OLS) 2.3 Properties of OLS on Any Sample of Data 2.4 Units of Measurement and Functional Form 2.5 Expected Values and Variances of the OLS Estimators 2.6 Regression through the Origin,2.1 Definition of the Simple Regression Model,简单线性回归模型 两变量/双变量线性回归模型,当我们研究y是如何随x变化时,要考虑几个问题: 除了x以外是否有其他影响y的因素? y和x的函数关系到底是怎样的? 我们是否可以抓住在其他条件不变的情况下y和x之间的关系?,除了x之外影响y的其它因素,2.1.1 Some Terminology,因变量 被解释变量 响应

      2、变量 被预测变量 回归子,自变量 解释变量 控制变量 预测元 回归元,误差项 扰动项,如果我们假设其他因素保持不变,则 的变化为0. 即, 那么, :斜率参数; :截距参数,主要关注,次要关注,Example1: A Simple Wage Equation,度量了在其他条件不变的情况下,每增加一年的教育所获得的小时工资的增长,包括天生素质、工作经验、工作时间、工作道德、及其他无数因素,2.1.2 A Simple Assumption,1、关于u的假定(非限制性假定) Why is not a restrictive assumption?,假设 则式(2.1)可以写作:,则有:,习题2.1,A Simple Assumption,2. 零条件均值假定:,对于任何给定的x值,非观测因素的均值都是相等的它们必须与整个总体中的u的均值相等。这意味着,u和x不相关。,Questions:,假定期末考试的分数(score)决定于出勤率(attend)和影响考试成绩的其他非观测因素: 那么这个模型能满足零条件均值假定吗?,Example1(continue),为了简单起见,假定u为个人的天生能

      3、力,2.1.3 population regression function (PRF),根据零条件均值假定,有:,总体回归函数 这是一个线性函数:x增加一单位,将使y的期望值改变 之多,.,.,x1,x2,E(y|x) = b0 + b1x,y,f(y),E(y|x) as a linear function of x, where for any x the distribution of y is centered about E(y|x),2.2 Ordinary Least Squares (OLS) 2.2.1 普通最小二乘法的推导,为了估计参数 使用一个容量为n的随机样本:,2.2.1 普通最小二乘法的推导,假定对于式2.1,我们得到参数 和 的估计值 和 ,则定义 时 的拟合值为 , 第i次观测的残差: 的实际值和它的拟合值之差,即,拟合值和残差,.,.,.,.,y4,y1,y2,y3,x1,x2,x3,x4,u1,u2,u3,u4,x,y,E(y|x) = b0 + b1x,2.2.1 普通最小二乘法的推导,对于参数的估计值,我们希望它们尽可能的接近真实值。换言之,希

      4、望y的拟合值和它的实际值之间的差异尽可能的小,则:,为什么不直接最小化残差的和?,这就是为什么叫作普通最小二乘法(OLS),一阶导数为0,二阶导数大于0.,一阶条件:,二阶条件满足,可得:,令:,x和y的样本协方差与x的样本方差的商,2.2.2 小结,一旦运用OLS法确定了参数的估计值,就建立了OLS回归线:,也被叫做样本回归函数,总体回归函数与样本回归函数:,固定,然而未知,是总体回归函数的一个样本估计。根据不同的样本会得到不同的参数估计值。,2.2.3 例子 Example 2: CEO Salary and Return on Equity,根据1990年209位(n=209)CEO的信息(数据来源于Business Week 5/6/91) 因变量salary衡量了以1000美元为单位的年薪,其最小值,均值和最大值分别如下: 223, 1281, 14822 。 自变量roe (%)净收入/普通净资产(%),是过去三年(1988、1989、1990)里的平均净资产回报率,其最小值,均值和最大值分别如下:(0.5, 17.18, 56.3),计量模型:,运用OLS法,得到sala

      5、ry对roe的OLS回归线:,salary (y)对roe (x)的回归,解释: 963.191: 常数项的估计值衡量了当roe为零时CEO的薪水为963191美元。 18.50: beta1 的估计值反映了ROE若增加一个百分点,工资将增加18501美元。,预测: 如果roe=30,salary是多少?,并不是说,在roe=30的公司中,某个特定的CEO就可以赚150万美元,因为还有其他因素会影响薪水。这只是根据OLS回归线(2.12)得到的预测值。,salary,roe,963.191,OLS回归线和未知的总体回归函数:,2.3 Properties of OLS on Any Sample of Data 2.3.1 Algebraic Properties of OLS Statistics,(1) OLS 残差和为零,因而由此得到的残差的平均值也为零. 证明:回忆OLS的一个一阶条件,注意:并没有提到任何一次观测i的残差会是什么,(2) 自变量和OLS残差的样本协方差为0.,证明:因为E( )=0 COV(X, )=E(X-E(X) -E( )=E(X ) 回忆OLS的另一个

      6、一阶条件,(3)点 总是在OLS的回归线上:,证明:因为 那么 所以,(4)拟合值的样本平均值与观测值的样本平均值相等:,被解释部分,未解释部分,证明:,根据性质(1):残差和为0。 所以,(2.22)两边求和取平均得所证结论。,(5)拟合值和残差的样本协方差为0,证明:,根据(2.18)和(2.20),观测值被分解成两个部分,而且这两部分是不相关的,2.3.2 更多术语,(1)Total Sum of Squares, SST,总平方和是对yi围绕其均值变异的度量,即它度量了yi在样本中的分散程度,(2)Explained Sum of Squares, SSE,解释平方和度量了拟合值的变异程度,(3)Residual Sum of Squares, SSR,残差平方和度量了残差的样本变异,y 的总体变异可以表示为解释变异和未解释变异之和,即,,证明:,拟合值和残差的样本协方差为0,2.3.3 Goodness-of-Fit,如何衡量自变量x究竟多好的解释了因变量y;或者说如何衡量样本回归线是否很好地拟合了样本数据? 假定SST不为0。,除非所有的观测值都相等,否则这个假定总是成立的

      7、。,定义:,又叫做判定系数,R2是解释变异与总变异的比值,因而可以看作是y的样本变异被x解释的部分。即用来衡量拟合优度。 R2:(0,1) =1意味着观测值都落在了回归线上完美的拟合; 接近0,表明OLS给出了一个糟糕的拟合。 注意: 在社会科学中,特别是在截面数据分析中, 回归方程的R-平方值较低并不罕见。值得强调的是,一个显著低的R-平方值不一定说明OLS回归方程是没有价值的。,SSE不可能比SST大,Example 2 (continue),薪水的变异有多少是被净资产回报率所解释的? 1.32% 但是式(2.17)仍然可能是salary和roe之间在其他条件不变下的关系的良好估计;这是否正确并不直接依赖于R2的大小。,2.4 Units of Measurement and Functional Form,理解改变因变量和/或自变量单位,将如何影响OLS估计值; 了解如何把在经济学中使用的总体函数形式加入到回归分析中。,2.4.1The Effects of Changing Units of Measurement on OLS Statistics,Example 2 (co

      8、ntinue) 如果净资产收益率以小数来表示,即令roed= roe/100, salary的单位仍为千美元。那么salary对roed回归,得到,一般而言,如果自变量乘上某个非零常数c,那么OLS斜率将乘以1/c,而截距则不改变。,无论因变量或自变量的单位如何改变,R2不会改变。,(i)如果因变量与自变量分别乘以非零常数c1、c2,那么OLS斜率将乘以c1/c2,截距将乘以c1; (ii)如果因变量与自变量分别加上常数c1、c2,那么OLS斜率不变,截距将加上(c1-c2*斜率);,习题2.8中的两个有用的结论:,2.4.2 Incorporating Nonlinearities in Simple Regression,线性关系并不适合所有的经济学运用 然而,通过对因变量和自变量进行恰当的定义, 我们可以在简单回归分析中非常容易地处理许多y和x之间的非线性关系 文献中经常有变量以自然对数形式(log y,log x)出现的情形,Example1(continue),Wage=-0.90+0.54educ,多受一年教育,小时工资可以增加0.54美元。增加第一年的教育和第20年教育,

      9、小时工资都增加0.54,这是不合理的。 所以我们希望得到多受一年教育,小时工资增长的百分率。这就需要对数函数。,educ,wage,如果,则有,,利用对数函数的特点:,则有:,对数工资方程,增加任何一年的教育,工资会有8.3%的增长, 即增加一年教育的回报率。 R平方表示教育解释了18.6%的log(wage)。,自然对数的另一个重要用途是用于获得弹性为常数的模型 log (y),log (x) 例子:CEO薪水和公司的销售额,薪水对销售额的弹性,估计结果:,销售额增加1%,CEO的薪水增加大约0.257%,含对数的函数形式总览,弹性,半弹性,2.4.3The Meaning of “Linear” Regression,参数是线性的,并不要求模型关于变量是线性的,自变量和因变量如何与初始的自变量和因变量相联系没有限制,2.5 Expected Values and Variances of the OLS Estimators,研究OLS估计量在从总体中抽取出的不同的随机样本中的分布性质,2.5.1 Unbiasedness of OLS,首先,在一些假定下证明OLS的无偏性。,假定1:参数是线性的 在总体模型中,因变量 y 和自变量 x 和误差u 的关系可写作,总体的截距参数,总体的斜率参数,假定2:随机抽样 假定从总体模型随机抽取容量为n的样本, (xi, yi): i=1, 2, , n。 那么可以用随机样本的形式把式(2.37)写为,误差:是第i次观测中影响观测值的不可观测因素。,观测值与拟合值之间的差异,注意:残差和误差的区别,x,y,x1,观测值与实际值之间的差异,假定3:零条件均值,对一个随机样本,该假定意味着,假定4:自变量的样本有变异 在样本中,自变量 xi 为不相同的常数,即,这个假定一般都会成立。,定理2.1:OLS的无偏性 根据假定14,有,对beta0和beta1的任何值都成立,引理: 证明:,证明定理2.1:,其中分子:,注意利用:,因此,分

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