经典线性计量经济学模型（1）

1、2 经典线性计量经济学模型,本单元概要 线性回归模型概述 一元线性回归模型 多元线性回归模型 异方差性 序列相关性 多重共线性 随机解释变量问题,2.1 线性回归模型概述,（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象，非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是随机现象，随机变量间的关系。,2.1.1 变量间的关系,经济变量之间的关系，大体可分为两类：,对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlation analysis)或回归分析(regression analysis)来进行：,例如： 函数关系：销售额=销售量价格，利润=销售额-成本,统计依赖关系/统计相关关系：,不线性相关并不意味着不相关； 有相关关系并不意味着一定有因果关系； 回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。 相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。,注意：,回归分析(regression analys

2、is)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 这里：前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。,2.1.2 回归分析的基本概念,回归分析构成计量经济学方法的基础，其主要内容包括： （1）根据样本观察值对经济计量模型的参数进行估计，求得回归方程； （2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。,高尔顿与回归分析,高尔顿（18221911） Galton，Francis 英国科学家，探险家，人类测量学家。1822年2月16日生于伯明翰，1911年1月17日卒于伦敦附近的萨里。C.R.达尔文的表弟。他创造的“优生学”一词，意味着用科学方法（选择婚配）可以增加人类中具有较高体力和智力者的比例。他创导的优生运动很快风靡欧美。在研究中他特别重视所查特征的数量

3、表现。为了表述不同亲属之间的相似程度，他首先把回归系数（见生物统计）这一统计学概念引入遗传学，为人类遗传学的数量研究奠定了基础。一生共写了9本书和大约200篇论文，涉及领域极广，主要有人类能力探究、指纹、气象测量等。但他的主要兴趣仍在于改进人类的体质和智力，在整个后半生中致力于宣传优生学。达尔文在人类的由来一书中就多次引用高尔顿的论点。高尔顿优生学中有些强调种族优越的部分后来被希特勒利用，残酷排犹、屠杀人类。其实高尔顿所提倡的优生学本意在于改善人群的素质，并非着眼于创造个别“精神贵族”。,小资料,由于变量间关系的随机性，回归分析所关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。,例2.1：假定一个社区由100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。或者，如果知道了家庭的月收入额，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。,2.1.3 总体回归函数,为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入相近的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。,（1）由于不确定因素的影

4、响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同； （2）但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的，如： P(Y=561|X=800）=1/4。,因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）： E(Y|X=Xi),该例中：E(Y | X=800) =（561+594+627+638）/4= 605,分析：,描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。,概念：,在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。,称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。,相应的函数：,回归函数（PR

5、F）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。,含义：,函数形式可以是线性的，也可以是非线性的。,例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:,为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）。,2.1.4 随机扰动项,总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。,称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）。,记,例2.1中，个别家庭的消费支出为：,（*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。,（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。 （2）其他随机或非确定性（nonsystem

6、atic)部分i。,即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和:,(*),由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。,随机误差项主要包括下列因素的影响：,1）在解释变量中被忽略的因素的影响； 2）变量观测值的观测误差的影响； 3）模型关系的设定误差的影响； 4）其它随机因素的影响。,产生并设计随机误差项的主要原因： 1）理论的含糊性； 2）数据的欠缺； 3）节省原则。,2.1.5 样本回归函数（SRF）,问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？,问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？,回答：能,例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，,总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。,核样本的散点图（scatter diagram)：,样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。该线称为样本回归线（sample regression lines）。,记样本回归线的函数形式为：,称为样本回归函数（sample r

7、egression function，SRF）。,这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代,则,注意：,样本回归函数的随机形式/样本回归模型：,同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：,由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。,回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。,注意：这里PRF可能永远无法知道。,即，根据,估计,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。,估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。,为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。,注意：这些假设与所采用的估计方法紧密相关。,2.1.6 线性回归模型的基本假设,假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性： E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0, 2 ) i=1,2, ,n,以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。,另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设：,假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即,假设6：回归模型是正确设定的,假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生所谓的伪回归问题（spurious regression problem）。 假设6也被称为模型没有设定偏误（specification error）,

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