专题08 立体几何

1、专题8 立体几何学科思想训练题组分类讨论思想分类讨论思想方法是指在研究和解决数学问题的过程中，根据要研究问题的本质属性，将问题进行分类，然后逐类进行研究与解决，从而达到研究和解决整个问题目的的一种思想方法是高中数学常用的思想方法例 直线上有两点到平面的距离相等，这条直线和平面的位置如何？【解析】（1）若直线上的两点到平面的距离都等于0，这时直线在平面内（如图）（2）若直线上的两点在平面的两侧，且到平面的距离相等，这时直线与平面相交（如图）（3）若直线l上的两点在平面的同一侧，且到平面的距离相等（如图）AA1于点A1，BB1于点B1又 A、B均在l上，且在的同侧AA1BB1四边形AA1B1B为一平行四边形ABA1B1 这时直线l与平面平行【方法技巧】根据直线上的两点与平面的位置不同，分类讨论1一条直线和这条直线外三点可以确定平面的个数为（）A1或3 B1或4C1、3或4 D1、3或52已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是，则这两个截面间的距离_3设，A、C，B、D，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS=_4在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃

2、的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、C则最短路程为多少数形结合思想来源:学|科|网Z|X|X|K数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一，数形结合思想采用了代数方法和几何方法最好的方面：几何图形形象直观，便于理解；因此，研究数形结合思想是相当必要的例 如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BPx，MNy，则函数yf（x）的图象大致是（）【思路分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D【解析】显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，故答案选B【答案】B【点评】通过图形，找出数之间的关系是快速解决此题的关键5棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图

3、，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A BCD 来源:学*科*网Z*X*X*K6已知四面体的四个顶点都在球O的球面上，若平面，且，则球O的表面积为（ ）A B C D7如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为_8如图，在四棱锥PABCD中，PD面ABCD，ABDC，ABAD，BC=5，DC=3，AD=4，PAD=60（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图（要求标出尺寸，并画出演算过程）；来源:学科网ZXXK（2）若M为PA的中点，求证：DM面PBC；（3）求三棱锥DPBC的体积转化思想研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终例 如图，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥的侧面转到A点求：（1）绳子的最短长度的平方f（x）；（2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离【思路分析】（1）由平面几何性质，可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于RtASM

4、的斜边上的高，利用三角形面积等积变换求解，可得这个最短距离的表达式；（2）由于f（x）=x2+16在区间0，4上是一个增函数，可得当x=4时，f（x）的最大值等于32【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在一个平面上，如图，则图为扇形，且弧AA的长度L就是圆锥底面圆的周长，所以L=2r=2，所以由题意知绳子的最小值为展开图中的AM，其值为AM=（0x4），所以f（x）=AM 2=x2+16（0x4）（2）绳子最短时，在展开图中作SRAM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在SAM中，所以（0x4），即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为（0x4） 【方法与技巧】空间几何体表面上距离最小值问题是立体几何的基本问题，其解题思路是将空间几何体的侧面展开，把立体几何问题转化为平面几何问题，然后利用平面几何的知识解决来源:学_科_网9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16 B20 C24 D3210两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体

5、体积的可能值有（ ）A1个 B2个 C3个 D无穷多个11如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1EBF求证：EF平面BB1C1C12空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为AB的中点（1）求BC与平面PAB所成的角；（2）求证：AB平面PMC来源:学科网函数方程思想函数方程的思想是高中数学的基本思路之一，也会贯穿高中数学乃至高等数学的一根主线，在立体几何中也有着巧妙的应用例 如图1，ACB45，BC3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90（如图2所示）当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？【思路分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥ABCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解析】如图

6、1所示的ABC中，设BDx（0x3），则CD3x，由ADBC，ACB45知ADC为等腰直角三角形，所以ADCD3x，由折起前ADBC知，折起后（如图2），ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BDC，BDC90，所以BDCD于是VABCDVABCD来源:Z+xx+k.Com，当且仅当2x3x，即x1时，取“”故当BD1时，三棱锥ABCD的体积最大【点评】解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BDx，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题13已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（ ）A BC D14九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A14斛 B22斛 C36斛 D66斛15某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大

7、的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）A B C D16已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 1【答案】C2【答案】2或14【解析】如图所示：设球的大圆为圆O，C，D为两截面的圆心，AB为经过C、O、D的直径且半径分别为6和8，当两截面在球心同侧时，如图（1）所示：则，当两截面在球心的异侧时，如图（2）所示：则故两截面间的距离为2或14来源:Z*xx*k.Com3【答案】16或2724【解析】将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形： （1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：S1=（2）将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为：S2=（3）将前表面展开与右侧面在同一平面内，可得其路程为：；然后比较的大小，即可得到最短路程5【答案】【解析】如图球的截面图就是正四面体中的ABD，已知正四面体棱长为2，所以AD=，AC=1，所以CD=，截面面积是：6【答案】C【解析】PB平面ABC，ABAC，且AC=1，PB=AB=2，构造长方体，

8、则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，则长方体的体对角线等于球的直径2R，则2R=，R=，则球O的表面积为4R2=4=9，故选C7【答案】【解析】将三棱锥ADED1选择ADD1为底面，E为顶点，则V ADED1=V EADD1，其中SADD1=SA1D1DA=，E到底面ADD1的距离等于棱长1，故 学科网（2）取PB中点N，连结MN，CN，9【答案】C【解析】由VSh，得S4，得正四棱柱底面边长为2画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R所以球的表面积为S4R224故选C10【答案】D【解析】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D11【解析】连接AF延长交BC于M，连接B1MADBC，AFDMFB，又BDB1A，B1EBFDFAE，EFB1M，B1M平面BB1C1CEF平面BB1C1C 学科.网12【解析】PAPB，APB90来源:学科网13【答案】B【解析】如图所示，设内接圆柱的半径为r（0rR），高为h，则有，得h=3（Rr），所以所以表面积最大为故选B14【答案】B来源:学+科+网【解析】设圆锥底面半径为，设米堆共有斛，则，解得斛）15【答案】A【解析】由三视图可知，工件为圆锥，底面半径，作圆锥内接正方体的轴截面设正方体边长为a，则解得所以所以利用率为来源:Zxxk.Com16【答案】

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