专题1.2 函数和导数

1、2019年高考数学二轮复习创新课堂12018全国5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.2.（2018全国卷2）(2018全国12)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案C解析f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2

2、)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.3.(2018全国21)已知函数f(x)=-x+aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:2,令f(x)=0得,x=或x=.当x时,f(x)0.所以f(x)在单调递减,在单调递增.(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+aln x1-ln x2x1-x2=-2+aln x1-ln x2x1-x2=-2+a-2ln x21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x2a-2等价于1x2-x2+2ln x20.设函数g(x)=1x-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)单调递减,又g(1)=0,从而当x(1,+)时,g(x)0.所以1x2-x2+2ln x20,即f(x1)-f(x2)x1-x20,则下列不等式恒成立的是()A.b-a2C.b-a2D.a+2b0,f(2a+b)-f(4-3b)=f(3b-4)

3、,2a+b2.选C.例1：(2018山东烟台一模)定义在R上的奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,则使得f(x)f(x2-2x+2)成立的x的取值范围是()A.(1,2)B.(-,1)(2,+)C.(-,1)D.(2,+)答案A解析由题意可知f(x)在R上单调递增,要使f(x)f(x2-2x+2)成立,只需xx2-2x+2,解得1x2,故选A.例2：.(2018全国)直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.分析：先求出函数在x=0处的导数，即切线的斜率，即可确定a的值。解析设f(x)=(ax+1)ex,f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f(0)=a+1=-2,a=-3.(2018重庆二诊)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.496C.92D.113答案B解析由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=x+5x+2,f(x)=-3(x+2)2,f(1)=-13.曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x

4、=0,得y=73;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=12737=496.(2018辽宁大连一模)过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+)B.1e,+C.(1,+)D.(2,+)答案C解析y=ex,y=ex,切线斜率为ex0,切线方程为y-y0=ex0(x-x0),当x=0时,y=-x0ex0+y0=-x0ex0+ex0=ex0(1-x0)1,则x0的取值范围是(1,+),故选C.(2018河南中原名校质量考评)已知f(x)=(x2+2ax)ln x-12x2-2ax在(0,+)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.1B.-1C.(0,1D.-1,0)答案B解析f(x)=(x2+2ax)ln x-12x2-2ax,f(x)=2(x+a)ln x,已知f(x)在(0,+)上是增函数,f(x)0在(0,+)上恒成立,当x=1时,f(x)=0满足题意.当x1时,ln x0,要使f(x)0恒成立,则x+a0恒成立,x+a1+a,1+a0,解得a-1.当0x1时,ln x0,要使f(x)0恒成

5、立,则x+a0恒成立,x+a0得g(x)在1,+)上递增,由g(x)0得g(x)在(0,1)上递减,g(x)min=g(1)=e.ke,即实数k的取值范围是(-,e),故选B.1(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)已知函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示,则满足f(x)0时,函数f(x)单调递增,当f(x)0时,函数f(x)单调递减.由图象可知,当0x1时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)4时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)f(x).所以满足f(x)f(x)的解集为x|0x4,故选D.专题训练题函数与导数一. 选择题1. (2018江西第二次检测)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f(x),且f(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.1答案B解析f(x)=aax-1,a2a-1=2,a=23,选B.2. .(2018黑龙江齐齐哈尔一模)若x=1是函数f(x)=ax2+ln x的一个极值点,则当x,e时,f(x)的最小值为()A.1-B.-e+C.-1D.e2-1答案A3. (2018安徽安庆二模)已知函数f(x)=2ef(e)ln x-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-C.1D.2ln 2答案D解析f(x)=,f(e)=,f(e)=,f(x)=.令f(x)=0,则x=2e.x(0,2e)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(2e,+)时,f(x)0时,f(x)= (1+x2)+,f(x)在(0,+)上递减,f(x)是偶函数,f(x)在(-,0)上递增,f(x)f(2x-1)等价于|x|2x-1|,两边平方化为3x2-4x+10,x1,x的取值范围是,故选C.5. 已知函数y=f（x）的图象如图，则f（xA）与f（xB）的大小关系是（）Af（xA）f（xB）Bf（xA）f（xB）Cf（xA）=f（xB）D不能确定答案：B解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，根据导数的几何意义可知f（xA）f（xB），故选：B6. （2018蚌埠一模）已知k，bR，设直线l：y=kx+b 是曲线y=e

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