专题03 导数及其应用

1、专题3 导数及其应用学科素养训练题组数学抽象例 （2018达州模拟）已知函数f（x）=lnxax，g（x）=x2（2a+1）x+（a+1）lnx（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）当a1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根【思路分析】（1）a=1时，可得f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，即可得函数f（x）取得极大值f（1）=1（2）方程f（x）=g（x）的根的根，令h（x）=，（x0，a1），分a=1，a1两种情况讨论即可【解析】（1）a=1时，函数f（x）=lnxx，x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=1（2）方程f（x）=g（x）的根即的根，令h（x）=，（x0，a1），当a=1时，h（x）0在（0，+）恒成立，函数h（x）单调递增，方程f（x）=g（x）有唯一实根当a1时，x（0，1）时，h（x）0，x（1，a）时，h（x）0，x（a，+）时，h（x）0，h（x）在（0，1），（a，+）单调递增，在（1，a）单调递减，而h（1）=a，x+时，h（x

2、）+，函数h（x）与x轴只有一个交点，方程f（x）=g（x）有唯一实根综上所述，方程f（x）=g（x）有唯一实根【方法技巧】此题考查了可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题1已知函数f（x）ln xax（aR），讨论函数f（x）的单调性2【2017郑州模拟】已知函数f（x）（xk）ex来源:学科网ZXXK（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间0，1上的最小值3设函数f（x）ax32x2xc（a0）（1）当a1，且函数图象过（0，1）时，求函数的极小值；（2）若f（x）在R上无极值点，求a的取值范围直观想象例 设函数yxsinxcosx的图像上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若kg（x0），则函数kg（x0）的图像大致为（）【思路分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，然后判断函数的图象【解析】yxcosx，kg（x0）x0cosx0，由于它是奇函数，排除B，C；当0x0，排除D，答案为A【方法技巧】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减4设曲线

3、ysinx上任一点（x，y）处切线的斜率为g（x），则函数yx2g（x）的部分图像可能为（）5设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1） B（1，0）（1，）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，）6已知函数f（x）的导函数f（x）ax2bxc的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（）7若S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（）AS1S2S3 BS2S1S3CS1S3S2 DS3S1b时，有（）Aaf（a）bf（b）Caf（b）bf（a） Daf（b）bf（a）9已知函数f（x）x（ln xax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（，0） B C（0，1） D（0，）10（2017宜州调研）设f（x）|ln x|，若函数g（x）f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A B C D11_12（2018南昌市二轮调研）已知函数，函数的图像为直线（1）当时，若函数的图像永远在直线下方，求实数的取值范围；（2）当时，若直线与函数的图像的有两个不同的交点，线段

4、的中点为，求证：数学建模例 已知函数（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围【思路分析】（1）先求导函数，然后利用由求得的值，即为切线斜率，最后利用点斜式求解；（2）首先求的根，然后讨论的范围，确实导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（3）首先通过分离参数得到一个新的不等式恒成立，然后根据此不等式的结构构造新函数，通过利用导数研究新函数的单调性求最小值，从而就可顺利求得的范围当时，此时在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，上单调递增（3）由题意，即，即对任意恒成立，令，则，令，得，即在上单调递减，上单调递增，当时取得最小值，解得又，a的取值范围为【方法技巧】本题属于难题主要考查利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，以及考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化的思想，体现考试大纲对导数研究函数的性质的知识要求与能力要求不等式恒成立问题常见方法： 学￥科网分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；数形结合；讨论最

5、值或恒成立；讨论参数本题是利用方法求得的范围在利用分离参数处理不等式恒成立问题中，常常要根据不等式的结构特征构造一个新函数，然后再通过利用导数研究函数的单调性来求其最值13若函数f（x）x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为（）ABCD14（2017安庆二模）给出定义：设f（x）是函数yf（x）的导函数，f（x）是函数f（x）的导函数，若方程f（x）0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数yf（x）的“拐点”已知函数f（x）3x4sin xcos x的拐点是M（x0，f（x0），则点M（）A在直线y3x上 B在直线y3x上来源:Zxxk.ComC在直线y4x上 D 在直线y4x上15已知函数f（x）ex2xa有零点，则a的取值范围是_16【2017衡水中学月考】已知函数f（x）ax1ln x（aR）（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x1处取得极值，x（0，），f（x）bx2恒成立，求实数b的最大值2【解析】（1）由f（x）（xk）ex，得f（x）（xk1）ex，令f（x）0，得xk1当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：x（，k

6、1）k1（k1，）f（x）0f（x）ek1所以，f（x）的单调递减区间是（，k1）；单调递增区间是（k1，）（2）当k10，即k1时，函数f（x）在0，1上单调递增，所以f（x）在区间0，1上的最小值为f（0）k，当0k11，即1k2时，来源:Z。xx。k.Com来源:学科网由（1）知f（x）在0，k1）上单调递减，在（k1，1上单调递增，所以f（x）在区间0，1上的最小值为f（k1）ek1当k11，即k2时，函数f（x）在0，1上单调递减，所以f（x）在区间0，1上的最小值为f（1）（1k）e综上可知，当k1时，f（x）mink；当1k0时，xf（x）f（x）0，g（x）0时，由f（x）0，得g（x）0，由图知0x1，当x0，得g（x）0，由图知x0成立的x的取值范围是（，1）（0，1），故选A 学%科网来源:学科网6【答案】D【解析】当x0时，由导函数f（x）ax2bxc0时，由导函数f（x）ax2bxc的图象可知，导函数在区间（0，x1）内的值是大于0的，则在此区间内函数f（x）单调递增只有D选项符合题意7【答案】A【解析】如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A8【答案】B【解析】由f（x）0得，即0，即xf（x）x0x0，xf（x）0，即函数yxf（x）为增函数，由a，b（0，）且ab，得af（a）bf（b），故选B9【答案】B又当x0时，g（x），当x时，g（x）0，而g（x）maxg（1）1，只需02a1，即0a 学￥科网10【答案】D11【答案】21【解析】ln x101，因为表示的是圆x2y24在x轴上方的面积，故222所以原式2112【解析】（1）当时，若函数的图像永远在直线下方，即，在上恒成立，即在上恒成立上设，对求导得， ，所以在时取得极大值，也是最大值，于是的取值范围是（2）设的横坐标是（不妨设），要证，只需证，即证，即证， 即证，只需证明：，13【答案】D【解析】若函数f（x）x32cx2x有极值点，则f（x）3x24cx10有根，故（4c）2120，从而c或c故实数c的取值范围为14【答案】B【解析】f（x）34cos xsin x，f（x）4sin xcos x，由题可知f（x0）0，

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