1、第二十一章 二次函数与反比例函数,21.1 二次函数,1,课堂讲解,二次函数的定义、用二次函数表达式 表示实际问题,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,要用长20 m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试写出y关与x的函数关系式 .,1,知识点,二次函数的定义,问 题(一),某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩 形的水面,投放鱼苗(如图)要使围成的水面面积最大, 则它的边长应是多少米?,知1导,这个问题首先要找出围成的矩形水面 面积与其边长之间的关系 设围成的矩形水面的一边长为x m, 那么,矩形水面的另一边长应为(20x)m. 若它的面积是S m2,则有Sx(20x).,知1导,这里x的取值 有什么限制?,问 题(二),知1导,有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每 天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人, 可使每人每天少装配玩具10个问增加多少人才能使 每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,则共有(15x)个装配工,每 人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配 (190
2、10x)个玩具所以,增加人数后,每天装配玩 具总数y可表示为y(19010x)(15x),知1导,归 纳,定义:一般地,表达式形如yax2bxc(a,b,c是常数,且a0)的函数叫做x的二次函数;其中x是自变量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,(来自点拨),【例1】下列函数中,哪些是二次函数?并指出二次函数的 二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y7x1; (2)y5x2; (3)y3a32a2; (4)yx2x; (5)y3(x2)(x5);(6) 导引:判断一个函数是否是二次函数,要紧扣定义并将其化 简后再判断(1)是一次函数;(2)是二次函数,二次 项系数为5,一次项系数和常数项都为0;(3)中自 变量的最高次数是3,所以不是二次函数;(4)中x2,知1讲,不是整式,所以不是二次函数;把(5)整理得到y 3x221x30,是二次函数,二次项系数为3,一次 项系数为21,常数项为30;(6)中 是分式,所 以不是二次函数 解:(2)与(5)是二次函数 (2)y5x2的二次项系数为5,一次项系数和常数 项都为0;(5)化为一般式,得到y3x221x30,所 以y3(x2
3、)(x5)的二次项系数为3,一次项系数 为21,常数项为30.,知1讲,(来自点拨),判断一个函数是否为二次函数,要看这个函数的表 达式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件: (1)函数的表达式为整式; (2)函数的表达式有唯一的自变量; (3)函数表达式自变量的最高次数为2,且二次项系数 不等于0.,总 结,知1讲,(来自点拨),1 设圆的半径为r,请填空: (1)这个圆的周长C_,它是r的_函数; (2)这个圆的面积S_,它是r的_函数,知1练,(来自教材),2 在下列表达式中,哪些是二次函数? (1)正常情况下,一个人在运动时每分所能承受的 最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可 表示为b0.8(220a); (2)圆锥的高为h,它的体积V与底面半径r之间的 关系可表示为 (h为定值);,知1练,(3)物体自由下落时,下落高度h与下落时间t之间的 关系可表示为 (g为定值); (4)导线的电阻为R,当导线中有电流通过时,单位 时间所产生的热量Q与电流I之间的关系可表示为 QRI2(R为定值),知1练,(来自教材),4 对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是( ) A
4、ymx23x1 By(m1)x2 Cy(m1)2x2 Dy(m21)x2,3 (2015兰州)下列函数表达式中,一定为二次函数 的是( ) Ay3x1 Byax2bxc Cs2t22t1 D,知1练,(来自典中点),【例2】 已知函数 是y关 于x的二次函数,求a,b的值 导引:若是二次函数,则等号的右边应是关于x的二次多 项式,故ab0,2ab30,于是a,b可求 解:由题意得 解得,知1讲,(来自点拨),当二次函数的二次项系数含有待定字母时,求出字 母的值必须满足二次项系数不为0这一条件,总 结,知1讲,(来自点拨),1 若函数 是y关于x的二次函数,求 k的值,知1练,(来自点拨),2 已知关于x的函数 . (1)当a取什么值时,它为二次函数? (2)当a取什么值时,它为一次函数?,2,知识点,用二次函数表达式表示实际问题,知2讲,【例3】 填空: (1)已知圆柱的高为14 cm,则圆柱的体积 V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表 达式是_; (2)已知正方形的边长为10,若边长减少x, 则面积减少y,y与x之间的函数表达式 是_,V14r2(r0),yx220x(0x1
5、0),导引:(1)根据圆柱体积公式Vr2h求解 (2)有三种思路:如图,减少的面积yS四边形AEMG S四边形GMFDS四边形MHCF x(10x)x2x(10x) x220x;减少的面积 yS四边形AEFDS四边形GHCD S四边形GMFD10x10xx2x2 20x;减少的面积yS四边形ABCD S四边形EBHM102(10x)2x220x.,知2讲,(来自点拨),(1)求几何问题中的二次函数表达式,除了根据有关的 面积、体积公式写出二次函数表达式以外,还应考 虑问题的实际意义,明确自变量的取值范围(在一 些问题中,自变量的取值可能是整数或者是在一定 的范围内),总 结,知2讲,(2)如果不能通过已知条件直接写出函数表达式(直接法), 应适当考虑通过割补法,将问题转化为几个图形面积 和差的问题(间接法),再寻求解答;判断自变量的取 值范围,应结合问题,考虑全面,不要漏掉一些约束 条件,列不等式组是求自变量的取值范围的常见方法 (3)如果要作实际问题中的函数的图象,注意其图象应是 在自变量取值范围内的部分图象,总 结,知2讲,(来自点拨),下列函数关系中,不是二次函数的是( ) A边
6、长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系 B一个直角三角形两条直角边长的和是6,则这个直 角三角形的面积y与一条直角边长x的函数关系 C在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方形, 剩余面积S与t的函数关系 D多边形的内角和m与边数n的函数关系,知2练,(来自典中点),1,【例4】 如图,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方 形MNPQ的边长均为10 cm,AC与MN在同一直线上, 开始时点A与点M重合,然后让ABC向右移动,最 后点A与点N重合问题: (1)试写出重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度 x(cm)之间的函数表达式; (2)当MA1 cm时,重叠部 分的面积是多少?,知2讲,(来自点拨),知2讲,导引:(1)根据图形及题意可得出重叠部分是等腰直角三角形, 从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数表达式; (2)将x1代入函数表达式可得出重叠部分的面积 解: (1)由题意知,开始时点A与点M重合, 然后让ABC向右移动, 两图形重叠部分为等腰直角三角形, 所以 (2)当MA1 cm 时,重叠部分的面积是 cm2.,总 结,知2讲,(来自点拨),此题主要考查的是
7、求动态几何图形中面积的函数表达式,判断出重叠部分是等腰直角三角形是关键 在确定实际问题中的函数表达式时,通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数表达式,并且要特别注意自变量的取值范围.,如图,在RtABC中,C90,AC12 mm,BC 24 mm,动点P从点A开始沿边AC向C以2 mm/s的速度移 动,动点Q从点C开始沿边CB向B以4 mm/s的速度移动 (1)若P,Q两点同时出发,请写出PCQ的面积S1关于运 动时间t(s)的函数表达式及t的取值范围 (2)在(1)的条件下,请写出四 边形APQB的面积S2关于运 动时间t(s)的函数表达式,知2练,(来自点拨),1.定义:一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函 数叫做x的二次函数. 2.y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式: (1)y=ax - (a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c - (a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx - (a0,b0,c=0). 3.(1)确定自变量与函数代表的实际意义; (2)找到自变量与函数之间的等量关系,根据等量关系列 出方程或等式 (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式,必做:,1.完成教材P4 T1-T2 2.补充: 完成典中点P1T2-T6 、T8-T10、 T12,必做:,1.完成教材P4 T1-T2 2.补充: 完成点拨P8-P9中T2-T5、 T7-T11、T13-T14,
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