1、广州市育才中学 执笔人: 梁结文 刘畅 韩倬,数学变式教学课题研究,研究背景,有效教学是新课标提出的新要求。所谓的有效教学是指教师在以学生发展为本的教育思想指导下,通过选择有效的教学策略,达成预定的教学目标,追求高效的教学效率。我校在初中各年级的数学有效教学研究中,进行了大量的变式教学研究,使变式教学成为了我校提高数学课堂效率的重要策略。,研究的主要内容,变式教学的具体策略是: 回顾导入由简单问题引入回顾知识要点; 多题一法由问题驱动发现题组中的通用方法;一题多变变式探究展示思维过程, 发现数学的共性; 课题小结总结课堂所学内化知识。,变式教学的基本思想:,尝试体验 探究发现 应用创新,握紧课标 立足教材 瞄准中考,1、把准教学内容的数学本质,是公式变式教学的关键,变式教学的教学目的就是让学生伴随课堂的教学过程不断地探索而生成知识。所以,变式教学是新授课教学的一种有效手段,C,1.正方形A的面积 怎样求?,25,9,回顾导入:,2.正方形B的面积 怎样求?,“补” :,7 2 - 4 (342) = 25,“割” :,4 (342) +1= 25,小方格的边长为1,案例一 八年级勾股定
2、理 1.1活动1:计算单位方形网格中不规则摆放的正方形的面积,活动目的:利用方格计算图形面积是学生们已掌握的知识。在课堂的开始设计该活动,目的在于激发学生的学习兴趣和原有的知识技能,也为勾股定理的变式教学的探索作铺垫。,4,4,8,C,图甲,1.观察图1,小方格的边长为1. 正方形A、B、C的面积各为多少?,探索活动一:,图1,1.2活动2-1:利用单位方形网格,以直角三角形的边为边长向外构造正方形,探索三个正方形面积的关系。,图2,SA+SB=SC,9,25,34,2.正方形A、B、C的 面积有什么关系?,图3,4,9,13,活动目的:学生独立完成表格,学习小组互相交流、探索。教师引导学生发现图形在正方形边长大小的变化下面积之间的不变关系,发掘问题的本质,并用自己的语言进行描述。而这时勾股定理的获得已是呼之欲出的。,图3-1,活动2-2:隐去方形网格,感受直角三角形三边数量关系的形成过程,活动目的:把方格背景抹去,目的在于让学生把活动2-1中猜想结论中SA、SB、SC分别转化为a、b、c,并感受到由正方形面积的关系式转化为三角形边长平方之间的关系式,思路很自然。在探索的过程中,学生同
3、时认识到图形当中的网格变化,并不影响等量关系的猜想与归纳。在此,教师进一步提出“当改变直角条件时,三边等量关系是否存在?”为下一步的探索活动铺路。,活动2-3:动态感受三角形最大角度数变化与三边数量关系的相互作用,体验直角条件的核心价值。,活动目的:利用几何画板的动态功能。首先,构造出直角三角形,并度量出三条边的长度,验证三边具有的等量关系;然后拖动最大角顶点C,形成各种钝角三角形,引导学生细心观察数据,由学生归纳、猜想,这时总有a+bc,如图3-3。观察动态演示的过程,体验了结论的变化过程后,学生进一步加深了对直角条件必要性的认识。,1.3借助拼图,自然呈现勾股定理的论证方法。,活动目的:在探索的过程中,有一名学生兴奋地发现了图6的证明结果,课堂气氛变得更加地活跃。这些活动不仅激发了学生的学习兴趣和求知欲望,并且引导学生产生了另一种思维方法,让变式教学产生了更好地教学效果。,1.在公式教学中,首先设计恰当的问题情境,再从新旧知识的衔接处设计问题的序列变化,引起学生的学习、探究兴趣。让学生主动地参与到数学知识的认识互动中,让学生弄清数学公式的来龙去脉,由他们自己发现并推演公式,享受创造
4、发现的成功感。打破以往公式教学中常用的“灌入”教学,改变学生在课堂的学习地位和数学的认知方法。,关于对公式变式教学的反思,2变式教学让学生理解数学公式中各字母的含义掌握它们之间的联系 在公式新授课的教学中,通过一节课的教学和练习,学生可以很好地对数学公式进行背诵,但是对公式中的字母含义、字母所表达的内在数学含义往往又是一知半解。而变式教学可以打破公式在学生思维中的固化模式,让学生记在的不仅仅是公式中的字母,并且记住公式在变化背景中的关系不变性和数学通性,让学生学会在不同的背景下探究公式、运用公式,将浅层的机械记忆转化为深层的理解记忆。,2.促进学生数学思维的发展,是习题课变式教学的任务,1.如图,直线的解析式为 :,求:1)请画出其函数图像。 2)求其与坐标系所围成的三角形的面积。,解:1)令x=0,则y=3 A(0,3) 令y=0,则x=1 B(1,0),反思:(1)平面直角坐标系中三角形面积的求法,关键是把三角形的面积与坐标系的交点坐标联系在一起,顺利地找到与面积有关的底与高。 (2)与x轴的交点,则令 ,与y轴的交点,则令 。,活动目的:教师在教学时引导学生发现求解三角形面积的关
5、键元素,通过平面直角坐标系把函数所呈现的代数知识转化为几何条件。 问题点评:设计问题1目的在于回顾一次函数的基本性质,让学生发现在平面直角坐标系中代数与几何的互通性,学会基本的解题方法:分解图形利用一次函数求点转化为三角形的底与高长度解答问题。引入题目简单,能面向全体学生,引起学生的学习积极性,同时也为接下来的变式教学作铺垫。,题组一:反比例函数中的面积问题,A S1 S2,D无法确定,3.反比例函数 (k0)的部分图象如图所示, A、B是图象上两点,AC 轴于点D,BD 轴于点C,若AOC 的面积为S1,BOD 的面积为S2,则S1和S2的大小关系为( ),C S1 S2,B S1= S2,A逐渐增大 B逐渐减小 C不变 D先增大后减小,4.如图,在直角坐标系中,点A是 轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线 ( ) 上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时, 的面积将会( ),5.如图,在反比例函数 ( )的图象上,有点 ,它们的横坐标依次为1,2,3,4分别过这些点作 轴与 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 , 则,(1)求抛物线的解析式; (2)求 的面积.,与 轴
6、的另一个交点为 。,6.如图:已知抛物线的顶点为,且经过原点 ,,y,x,O,A,B,题组二:二次函数中的面积问题,问题点评:题组一、二分别以反比例函数、二次函数作为求解背景,设计目的在于让学生能在不同的背景下分解求解的基本图形,掌握利用函数知识转化为几何条件的解题技巧。改变解题背景,让题目覆盖知识更广、更深,让学生在解题的过程中发现题目中的共通点,达到触类旁通的教学目的。,C,B,O,A,G,l1,l2,x,y,7如图,直线 的解析式为 ,且 与 轴交于点B,(1)直线 : ,与 轴交于点C,直线 , 交于点G,求 的面积;,(2)反比例函数 的图象与直线 相交于E、F两点,且点E和点F的横坐标分别为-1和2,求反比例函数的解析式和EOF的面积,A,l1,(3)如图二次函数 的图象 与x轴交于M,N两点,与直线l1交于y轴, 的 面积为6求该二次函数的关系式;,(4)在(3)中,设二次函数的顶点为P,求 的面积。,P,(5)在(3)的抛物线上是否存在一点Q, 满足 ,若存在,请求出 Q点的坐标;否则,请说明理由,x,y,O,y,x,O,y,x,O,x,y,O,问题点评:题组三是由问题
7、1变式发展而来的,涵盖了一次函数、反比例函数、二次函数等方面的知识,问题由简入繁、由易入难,逐步引入不同的条件、背景。学生在变式的解题中,进一步掌握在多题一法中所形成的技巧,并探索各问题之间的同异,发现各问题之间的共通点,学会在复杂背景下分解基本数学图形、寻找基本数学量,明白繁由简来、难由易来克服畏难情绪。,3.领悟数学万变不离其中的道理,是复习课变式教学的根本,我们育才中学数学备课组尝试将由基础问题引入,把题目改变为系列变式,在解题中回顾知识点,在变式中寻找通性。通过变式不但顺应了中考命题的发展趋势和要求,而且提升了数学问题的自身价值,发展了学生的思维能力,使得数学课堂更有效。,1.如图,点C在直线XY上,ACCF, AC=CF,作 ADXY于D,FNXY于N. 求证:A=FCN; 求证: AD=CN, DC=FN; (3)已知DC=2AD,试求tanFCN的值.,案例3 九年级全等三角形复习课,31课题引入万变不离其中,分析:由基础题目引入面向了大部分学生,不仅可以激发学生的学习兴趣,而且学生在独立完成题目时发现三角形全等的条件,回顾三角形全等的证明要素和方法。在解题时,老师引导学
8、生发现题目中线段之间的垂直关系,建立线段“三垂直关系”的数学模型,为变式做准备。,寻找模型,类比归纳,3 .如图,BC在直线l上,分别以ABC的边AB、AC为边朝形外作正方形ABGH和正方形ACFE,连结FG,P为FG的中点,作直线PKBC,垂足为K. 求证:,M,N,D,关键:GM=BD,关键:FN=DC,一道中考的压轴题经常在复杂的图形背景下 找到数学的基本模型。,分析:问题3来自于一道中考压轴题,学生面对该类问题 显得无从下手。问题1、2的设计就是为问题3的解题设计阶梯。老师与学生一起分析题目的条件,适当地设置路标如图3-1,构造辅助线。尝试让学生在解题过程中从复杂的图形背景中剥离出基础图形,发现已建构的“三垂直线段”数学模型如图3-2。由繁入简,在由简得繁,深化题组中蕴含的数学通性。,图2,图3,图4,图1,指出图1中的三角形通过怎样的变换, 可得到阴影三角形?说出变换过程,题组二:1、说一说,发现变换,3.2课题深入,分析:通过独立思考或小组合作讨论,引导学生发现图形中的变换。每组的图形可以存在不同的变换关系,但变换后线段的垂直关系仍然存在。图形的变换可作为“三垂直线段”模型
9、的一种推广,也可在变换中发现模型的共性。,题组二 2、找一找,发现模型 (1)如图,已知E、F分别是正方形ABCD的 边AD、AB上的点,连结BE、CF, 若BECF,求证:BE=CF . (2)如图,ABCD是正方形,EFPM, 求证: EF=PM.,题组二 (3).如图,在ABC中, AD、BE是高, 若ACB=60,BAC=75, 求证:BDHADC;,分析:学生在解题的过程中,可发现每题中相应的数学基础图形。在变化的图形背景中,发现题目的通性、通法,体现变式过程中的多题一法。 题组点评:题组二是题组一的水平变式。在学生知识的“最近发展区”进行变式教学,归纳、总结出一类问题基本解题方法。在讲题的过程中,注重解题思路的分析,充分暴露思维过程,让学生主动探索,让学生自主分析,把变式教学变得更活跃,课堂更有效。,题组三,1、弱化条件“AC=CE(线段相等)”, 则结论由三角形全等弱化为三角形相似,D,E,3.3:课题推广,例1(2010江苏南通)如图,正方形ABCD的边长为4cm, 点P是BC边上不与点B,C重合的任意一点,连接AP, 过点P作PQAP交DC于点Q,设BP的长为 cm, CQ的长为 cm。求点P在BC上运动的过程中 的最大值;,分析:通过题组一、二的探索解题,学生已建立“三线段垂直”模型的认识,并且掌握了一般的数学解题技巧。对于题组三的设计目的在于由全等知识过度相似知识,实现知识的连通性。让学生发现题目之间的共通点,拓展基础模型的应用。,2、弱化条件
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