马尔科夫链的原理及其建模应用实例模型
52页1、马尔科夫连原理及其建模实例,马氏链及其应用,1.一个简单的例子,我们知道,人寿保险公司最为关心的是投保人的健康 与疾病以及相应的风险。通过下面的例子我们来看保险 公司是如何处理这类问题的。,问题的提出,设 表示年龄的时段,假定在一年中,今 年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年转为健 康的概率为 假设一个人在投保时处于健康状态,我 们来研究若干年之后他分别处于这两种状态的概率。,建模,用随机变量 表示第 年的状态,,以 表示第 年状态为 的概率。即,以 表示今年状态处于 明年状态处于 的概率,即,由全概率公式得到:,即,由假设,,再由于投保人处于健康状态,即,由此得到,若投保人在开始时处于疾病状态,即 则有,从两张表中可以看到,无论投保人在初始时处于什么 状态,当时间趋于无穷大时,该时刻的状态趋于稳定, 且与初始值无关。即,意义 若将众多投保人处于两种状态的比例,视为投 保人处于两种状态的概率,例如健康人占3/4,病人占 1/4,即 则同样可计算出,由上面的分析可以看出,对于给定的状态转移概率, 时的状态概率, 趋向于稳定值,该 值与初始值无关,这是马氏链的重要性质。,把人的死亡看作
2、第三种状态,用 来表示,相 应的转移概率如下图表示。,仍以 表示状态 为 时的概率, 表示状态转移概 率,即有,平行于式,有,设投保人在期初处于健康状态,则由可计算出若干 年后他处于各个状态的概率。,表中最后一列数据是通过预测得到的。从表中的数据 又可以看到,无论投保人在期初处于什么状态,当 时,总有,2.马尔可夫链,假设 1.系统是随时间的发展而离散为,2.在任何时刻,系统的状态为有限多个。在时间 时, 系统的状态的 的取值为,3.在时刻 时系统处于各状态的概率只与时刻 时 系统所处的概率与转移概率有关。,满足以上三个假设的系统的随机发展过程称为马尔可 夫过程或马氏链。,设在时刻 时系统处于状态 的概率为,行向量,称为状态概率向量,由概率的意义,向量应该满足,及,设在时刻 处于状态 的系统转移到 时刻处于 的概率为 它应该满足,1.,引如概率转移矩阵,由假设3,再由全概率公式得,用矩阵的方法来表示的话,可以写成,简单地可以写成,由此可得系统在时刻 时的状态向量为,其中 为时刻 时系统的状态概率向量,又称为 状态初始向量。,例 在前两例中,初始向量与概率转移矩阵分别为,我们通过下面的例
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