2014年人教a版数学理二轮同步提升课件：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：_、_、_.,相交,相切,相离,(2)两种研究方法：,相交,相切,相离,相交,相切,相离,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= (r20).,dr1+r2,无解,d=r1+r2,一组实数解,|r1-r2|dr1+r2,一组实数解,无解,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分 条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆 外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ),(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( ) (5)过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( ),【解析】(1)错误.当k=1时，圆心到直线的距离 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，

2、则 ，解得 所以，“k=1”是“直线x-y+k=0与圆 x2+y2=1相交”的充分不必要条件，而非必要不充分条件. (2)错误.因为除外切外，还可能内切. (3)错误.因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否 则可能内切或内含.,(4)错误.只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程. (5)正确.由已知可得O，P，A，B四点共圆，其方程为 即x2+y2-x0x-y0y=0, 又圆O方程：x2+y2=r2, -得:x0x+y0y=r2,而两圆相交于A,B两点，故直线AB的方程 是x0x+y0y=r2. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( ) (A)相切 (B)相交但直线不过圆心 (C)相交过圆心 (D)相离 【解析】选B.由题意知圆心(1，-2)到直线2x+y-5=0的距离 且21+(-2)-50,因此该直线与圆相交但不过圆心.,2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4y=0的位置关系是( ) (A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 【解析】选C.因为两圆的方程可化为(

3、x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2 =4，所以两圆圆心距|O1O2 两圆的半径之差|r1-r2|=2-1=1,半径之和r1+r2=1+2=3.|r1-r2|O1O2|= r1+r2,故两圆相交.,3.圆x2+y2-4x=0在点P(1， )处的切线方程为( ) (A)x+ y-2=0 (B)x+ y-4=0 (C)x- y+4=0 (D)x- y+2=0 【解析】选D.圆的方程可化为(x-2)2+y2=4，圆心坐标为(2， 0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y- =k(x-1),即kx- y-k+ =0, 解得k= . 切线方程为x- y+2=0.,4.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数 m的取值范围是_. 【解析】将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为(x-1)2+(y+2)2=1, 圆心坐标为(1，-2)，半径为1. 若直线与圆无公共点，则有 m10. 答案:(-,0)(10,+),5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点 到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_. 【解析】因为圆的半

4、径为2，且圆上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即 解得-13c13. 答案:c|-13c13,考向 1 利用“几何法”研究直线与圆的位置关系 【典例1】(1)(2012安徽高考)若直线x-y+1=0与圆C：(x-a)2+y2 =2有公共点，则实数a的取值范围是( ) (A)-3，-1 (B)-1,3 (C)-3,1 (D)(-,-31,+) (2)(2012福建高考)直线x+ y-2=0与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( ) (A) (B) (C) (D)1,(3)(2012天津高考)设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则m+n的取值范围是( ) (A)1- ，1+ (B)(-,1- 1+ ,+) (C)2- ,2+ (D)(-,2- 2+ ,+),【思路点拨】(1)利用几何法.根据圆心到直线的距离不大于半 径构建不等式求解. (2)利用几何法，根据弦长l= 求解. (3)先根据圆心到直线的距离等于半径，得到m,n的等量关系， 再利用基本不等式求解.,【规

5、范解答】(1)选C.圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x- y+1=0的距离为d, 则dr= ,即 |a+1|2， -3a1. (2)选B.圆x2+y2=4的圆心O(0，0)到直线x+ y-2=0的距离 又圆的半径为r=2. ,(3)选D.因为直线与圆相切，所以d=r， 即 令m+n=t，则t2-4t-40t(-,2- 2+ ,+).,【互动探究】过点P(2，4)引本例题(3)中圆的切线，则切线方程如何？,【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆 心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4- 2k=0，因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半 径，即 解得k= ，所以所求切线方程为 即4x-3y+4=0. 所以切线方程为x=2或4x-3y+4=0.,【拓展提升】 1.几何法判断直线与圆的位置关系的流程 【提醒】如果能判断直线过定点，则可由定点到圆心的距离(即点在圆内、圆上、圆外)判断直线与圆的位置关系.,2.求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤 (1)方法：待定系数法.

6、(2)步骤：判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一条切线；若在圆外，则有且只有两条切线； 设切线方程(一般设点斜式方程)； 利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值； 得切线方程. 【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.,【变式备选】已知直线l:y=kx+1,圆C：(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)求直线l被圆C截得的最短弦长.,【解析】(1)因为不论k为何实数，直线l总过点A(0，1)，而 所以点A(0，1)在圆C的内部，即不论k为何 实数，直线l总经过圆C内部的定点A.所以不论k为何实数，直 线l和圆C总有两个交点. (2)由平面几何知识知过圆内定点A(0，1)的弦，只有和AC垂直 时才最短，而此时点A(0，1)为弦的中点，由勾股定理，知弦 长为 即直线l被圆C截得的最短弦长为 .,考向 2 利用“代数法”研究直线与圆的位置关系 【典例2】(2013深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的

7、直线与圆Q相交于不同的两点A，B. (1)求k的取值范围. (2)以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，是否存在常数k，使得直线OD与PQ平行？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.,【思路点拨】(1)将过点P(0，2)的直线方程与圆Q的方程联立 消去y，得关于x的一元二次方程，利用其判别式大于0构建关 于k的不等式求解. (2)假设存在，利用 与 共线，构建关于k的方 程求解.但需验证k的值是否在(1)中范围内.,【规范解答】(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6，0)，过P(0，2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2, 代入圆方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0. 直线与圆交于两个不同的点A，B等价于 =4(k-3)2-436(1+k2)=42(-8k2-6k)0, 解得- k0,即k的取值范围为(- ，0).,(2)假设存在常数k，设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x1+x2,y1+y2), 由方程,得 又y1+y2=k(x1+x2)+4. 而P(0，2)，Q(6，0)， =(6

8、，-2)， 因为 ，,所以 与 共线等价于 -2(x1+x2)=6(y1+y2), 即-(x1+x2)=3(y1+y2), 将代入上式，解得k= . 由(1)知k( ,0)，故不存在符合题意的常数k.,【拓展提升】 代数法判断直线与圆的位置关系的三个步骤 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x) 的一元二次方程. (2)求上述方程的判别式，并判断其符号. (3)得出结论. 2.代数法求直线被圆截得的弦长 直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x的一元二次方 程，由根与系数的关系即可求得弦长,【变式训练】已知圆O：x2+y2=4内一点P(0，1)，过点P的直线l 交圆O于A，B两点，且满足 = (为参数). (1)若|AB|= ，求直线l的方程. (2)若2，求直线l的方程.,【解析】(1)当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足题意， 故可设所求直线l的方程为y=k1x+1, 代入圆的方程，整理得 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 又|AB|= ， 利用弦长公式 可求得 k1=1，故直线方程为y=x+1或y=-x+1.,(2)当直线l的斜率不存在时，

9、 或 ，不满足题 意，故可设所求直线l的方程为y=k2x+1. 代入圆的方程，整理得 (*) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程(*)的两根， 由 可得x1=-2x2, 则有,2得 解得 所以直线l的方程为y= x+1.,考向 3 圆与圆的位置关系 【典例3】(1)(2012山东高考)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2 +(y-1)2=9的位置关系为( ) (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 (2)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为 则a=_. (3)已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2- 3=0,若圆C1与圆C2相外切，则实数m=_.,【思路点拨】(1)利用几何法来判断，即判断两圆的圆心距与两半径和、差的绝对值的关系. (2)两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形求解. (3)利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解.,【规范解答】(1)选B.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆 心距 两圆半径和为5、差的绝对值为 1，所以 所以两圆相交. (2)两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay -6)-(x2+y2)=0-4y= ,又a0,结合图象，再利用半径、弦长 的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 答案:1,(3)两圆的标准方程为(x-m)2+

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