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2015《创新大课堂》高三人教版数学理一轮复习：第7章第6节空间向量及其运算和空间位置关系2014高考

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常见问题

1、第六节空间向量及其运算和空间位置关系(理),主干知识梳理一、空间向量及其有关概念,平行或重合,同一平面,ab,xayb,ab0,a2,2向量的坐标运算,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,三、平面的法向量 1所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是向量 2在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 ,平面垂直,共线,唯一的,基础自测自评 1(教材习题改编)已知a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)则下列结论正确的是 ( ) Aac，bc Bab，ac Cac，ab D以上都不对 C c(4，6，2)2a，ac. 又ab0，故ab.,2若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是 ( ) Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，a2b C 若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，与a，b，c为空间向量的一组基底

2、矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底,关键要点点拨 1用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化,空间向量的线性运算,规律方法用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则,典题导入如右图，已知平行六面体 ABCDABCD，E、F、 G、H分别是棱AD、DC、 CC和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面,共线、共面向量定理的应用,规律方法应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：,跟踪训练 2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证： (1)E、F、G、H四点共面； (2)BD平面EFGH.,典题导入 (2014湖南模拟)已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，边长为2a，ADDE2AB，F为

3、CD的中点 (1)求证：AF平面BCE； (2)求证：平面BCE平面CDE.,利用空间向量证明平行或垂直,规律方法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直 (1)设直线l1的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2(a2，b2，c2) 则l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR) l1l2v1v2a1a2b1b2c1c20.,(2)设直线l的方向向量为v(a1，b1，c1)，平面的法向量为n(a2，b2，c2)，则lvna1a2b1b2c1c20. lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2) (3)设平面的法向量n1(a1，b1，c1)，的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2，n1n2.,【思路导析】可采用基底向量法，也可采用特殊几何体法,【高手支招】与空间几何体有关的向量运算问题，当运算的结果与几何体的形状无关时，可构造特殊的几何体(如正四面体、正方体等)，利用特殊几何体的边角关系，使运算能够快速准确的解答，提高做题速度和效率,体验高考 (2013湖南高考)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.,(1)证明：ACB1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值,解析解法一：(1)证明：如图1，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1. 又ACBD，所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D，所以ACB1D.,(2)解：因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为) 如图1，连接A1D.因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1.从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D. 由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1，故ADB190. 在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.,课时作业,

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