识别“费马点” 中考答题思路快突破 例题版本
4页1、识别“费马点” 思路快突破解题的成功取决于多种因素,其中最基本的有:解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素,这也就是我们常说的解题基本功可见解题的知识因素是第一位的,足以说明它的重要性下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取例1 (2010湖南永州)探究问题:(1)阅读理解:如图(A),在已知ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为ABC的费马点,此时PAPBPC的值为ABC的费马距离. 如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有ABCDBCDAACBD.此为托勒密定理.(2)知识迁移:请你利用托勒密定理,解决如下问题:如图(C),已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点.求证:PBPCPA.根据(2)的结论,我们有如下探寻ABC(其中A、B、C均小于120)的费马点和费马距离的方法:第一步:如图(D),在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆;第二步:在上任取一点P,连结PA、PB、PC、PD.易知PAPBPCPA(PBPC)PA ;第三步:请你根据(1)中定义,在图(D)中找出ABC的费马点P,并请
2、指出线段 的长度即为ABC的费马距离. (3)知识应用:2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的ABC(其中A、B、C均小于120),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.思路探求:(2)知识迁移 问,只需按照题意套用托勒密定理,再利用等边三角形三边相等,将所得等式两边都除以等边三角形的边长,即可获证. 问,借用问中对于费马点的定义结论容易获解. (3)知识应用,模仿(2)的图形,先构造正三角形,由(2)中的结论,再计算AD即为最小距离.简解:(2)证明:由托勒密定理可知PBACPCABPABC ABC是等边三角形 ABACBC PBPCPA PD AD(3)解:如图,以BC为边长在ABC的外部作等边BCD,连接AD,则知线段AD的长即为ABC的费马距离. BCD为等边三角形,BC4, CBD60,BDBC4. ABC30, ABD=90. 在RtABD中,AB3,BD4 AD5(km)
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