大学物理下册第20章-振动-课件

1、1,第 20 章 振 动 (Vibration),20.1 简谐振动的描述,20.3 简谐振动的能量,20.4 阻尼振动,20.5 受迫振动 共振,20.2 简谐振动的动力学,2,20.6 同一直线上同频率 的简谐振动的合成,20.7同一直线上不同频率的简谐振动的合成,20.8 谐振分析,20.9 两个互相垂直的简谐振动的合成,3,物体在一定位置附近作往复的运动叫机械振动，简称振动,周期和非周期振动,简谐运动：最简单、最基本的振动.,例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等都在不停地振动。,4,质点运动时，如果离开平衡位置的位移x（或角位移）按正弦规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。,一、简谐运动的运动方程 (Equation of Simple Harmonic Motion),20.1 简谐运动的描述 (Simple Harmonic Motion),图20.1 质点的简谐运动,(20.1),5,角频率与频率 的关系： = (20.3),可得：,(20.2),(20.4),6,简谐运动的加速度和位移成正比而反相,A:振幅；：角频率; :初相 叫做简谐运动的三个特

2、征量。,(20.5),(20.6),(20.7),7,若,图20.2 简谐运动的x,v,a随时间变化的关系曲线,8,二、相量图法(Method of phasor diagram),振幅矢量;,图20.3 匀速圆周运动与简谐运动,9,三、相 初相 相差（Phase Initial Phase Phase Difference）,：叫在时刻 t 振动的相（或相位）;,：t=0 时刻的相位叫初相,若两个简谐运动的相差始终是 =2- 1则可知两个运动是同步调的。,两个简谐运动,它们的相差,(20.8),10,例20.1 简谐运动。一质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.05m，周期T=0.2s。当质点正越过平衡位置项负x方向运动时开始计时。 （1）写出此质点的简谐运动表达式； （2）求在t=0.05s时质点的位置、速度和加速度； （3）另一质点和此质点的振动频率相同，但振幅为0.08m，并和此质点反相，写出这另一质点的简谐运动表达式； （4）画出两振动的相量图。,11,解 (1)取平衡位置为坐标原点，以余弦函数表示简谐运动，则A=0.05m，=2/T=10 s-1。由于t=0时x=0，且v0，所

3、以= /2。因此质点简谐运动表达式为,（2）t=0.05s时,12,质点在负x向最大位移处,此时质点瞬时停止,13,（3）另一质点的简谐运动表达式为,（4）两振动的相量图,14,20.2 简谐运动的动力学 (Kinetics of Simple Harmonic Motion),一、 简谐运动的动力学方程(Kinetics Equation of Simple Harmonic Motion),15, 一个简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力与它对于平衡位置的位移成正比而反相。这样的力称为回复力。,即,其中，k为比例常数,简谐运动的动力学方程,(20.9),(20.10),16,或,其解为,质点在与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用下的运动是简谐运动。,(20.11),17,二、描述简谐运动的三个特征量,和式,可得,由式,简谐运动的角频率由振动系统本身的性质所决定。这一角频率叫振动系统的固有频率，相应的周期叫振动系统的固有周期。,(20.12),18,周期值为,则,得：,简谐运动的三个特征量 A, 都知道了，这个简谐运动的情况就完全确定了。,(20.13),(20.14),(2

4、0.15),(20.16),19,19,例20.2 弹簧振子 如图所示为一水平弹簧振子，O为振子的平衡位置，选作坐标原点。弹簧对小球（即振子）的弹力遵守胡克定律，即F=-kx，其中k为弹簧的劲度系数。（1）证明：振子的运动为简谐运动。（2）已知弹簧的劲度系数为k=15.8N/m，振子的质量为m=0.1kg。在t=0时振子对平衡位置的位移x0=0.05m，速度v0=-0.628m/s。写出相应的简谐运动的表达式。,图20.5 例20.2中水平弹簧振子,20,20,解 （1）因振子所受的水平合力为F=-kx，根据定义，此力作用下的振子的水平运动应为简谐运动。,（2）由式（20.12）得,由式（20.15）得,21,21,由式（20.16）得,由于x0=Acos=0.05m0，所以=/4。,简谐运动的表达式为,22,22,例20.3 单摆的小摆角振动。如图所示单摆摆长为l，摆锤质量为m。证明：单摆的小摆角振动是简谐运动并求其周期。,解 取逆时针方向为叫位移的正方向，则,在位移角很小时，sin ，所以,由于,(20.17),图20.6 例20.3单摆,23,23,由牛顿第二定律可得,或,（20

5、.18）,与式（20.11）比较，可得在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐运动，其角频率为,其周期为,（20.19）,24,20.3 简谐运动的能量 （Energy of Simple Harmonic Motion）,弹簧振子为例 （Spring Oscillator）,25,弹簧振子总机械能为,弹簧振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒。总能量与振幅的平方成正比，这对其他的简谐运动系统也正确。,(20.28),(20.29),26,27,20.4 阻尼振动 （damped vibration）,任何振动系统总要受到阻力的作用，这时的振动叫阻尼振动。因阻尼振动的振幅不断地减小，故而被称为减幅振动。,阻尼力,（ 20.31 ）,28,令,（20.33）,方程（4-3）的解为,（ 20.34）,可得,29,其中,（20.35）,30,阻尼振动周期为,振动能量为,阻尼越小，则鸣响时间也越长。,（20.36）,（20.37）,（20.38）,31,品质因数Q：在鸣响时间内完成阻尼振动的次数的 倍，即,b：过阻尼,a：欠阻尼,c：临界阻尼,（20.39）,32,20.5 受迫振动 共振 （F

6、orced vibration Resonance ）,在驱动力作用下的振动叫受迫振动。对振动系统施加的周期性外力叫驱动力。,物体受迫振动的运动方程,令,（20.40）,33,则上式可以写成,这个微分方程的解为,受迫振动稳定状态表示式,（20.41）,（20.42）,（20.43）,34,振幅为,稳态受迫振动与驱动力的相差为,振幅极大时的角频率、相应的振幅为,（20.44）,（20.45）,（20.46）,（20.47）,35,36,共振的应用：收音机、乐器、医疗诊断等,共振的危害：机器设备的损害等,图20.11 1940 年7月1日美国 Tocama 海峡大桥的共振断塌,37,20.6 同一直线上同频率的简谐运动的合成 （ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Line with same frequency ）,设在同一直线上的同频率的两个简谐运动的表达式分别为，,任意时刻合振动的位移,38,图20.12 在x 轴上的两个同频率的简谐运动合成的相量图,39,合振动的表达式,合振幅,合振的初相,(20.48),(

7、20.49),40,1. 两个分振动同相,41,2. 两个分振动反相,质点处于静止,42,3. 两个分振动相差为其他值时，合振幅的值在,43,20.7 同一直线上不同频率的简谐运动的合成 （ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Line with different frequency）,在同一直线上的两个分简谐振动的频率不同，初相位相同，两分振动的表达式分别为,合振动的表达式为,44,由于 ,故 随时间作极其缓慢的周期变化。,合振动可视为振幅为 ，角频率为 的谐振动。,频率都较大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的这种振动忽强忽弱的现象拍。,(20.50),45,单位时间内振动加强或减弱的次数拍频,图20.16 拍的形成,46,拍频为两分振动频率之差,拍现象的应用：,管乐器中的双簧管；校准乐器(使其和标准音叉产生的拍音消失)；超外差式收音机中的变频器；汽车速度监视器；地面卫星跟踪等。,(20.51）,47,20.8 谐振分析 （ resonance analysis ）,20.17 频率比为1：2的两个简谐

8、运动的合成,两个在同一直线上不同频率的简谐运动的合成的结果仍是振动，但一般不再是简谐运动。,下面即频率为1：2的两个简谐运动的合成,48,两个以上，而且各分振动的频率都是其中一个最低频率的整数倍，则合振动仍是周期性的，其频率等于那个最低的频率。,任何一个复杂的周期性振动都可以分解为一系列简谐运动之和谐振分析。,根据实际振动曲线的形状，或它的位移时间函数关系，求出它所包含的各种简谐运动的频率和振幅的数学方法傅里叶分析。,49,根据F(t)求出,分振动中频率最低的称为基频振动，他的周期就是原周期函数F(t)的频率，这一频率叫基频。其他分振动依次分别称为二次、三次、四次谐频。,(20.52),50,20.18“方波”的合成,51,20.19 振动的频谱 (a)锯齿波；(b)锯齿波的频谱 (c)阻尼振动；(d)阻尼振动的频谱,52,20.9两个相互垂直的简谐运动的合成 （Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Line ）,一、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成,（20.53）,（20.54）,53,x,y,20.20 相互垂直的两个简谐运动的合成的轨迹与走向,54,二、两个相互垂直的不同频率简谐运动的合成,若两者频率有简单的整数比，则和振动的质点的运动将具有封闭的稳定的运动轨迹。这种图称为李萨如图,20.21 李萨如图,

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