2013年秋新版八年级上13.4课题学习--最短路径问题课件.ppt
19页1、八年级 上册,13.4 课题学习 最短路径问题,如图所示:从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?你的理由是什么?,两点之间线段最短,()两点在一条直线异侧,已知:如图,A,B在直线L的侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。,A .,P,思考:为什么这样就能得到最短距离呢?,问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短?,探索新知,精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗?,探索新知,追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?,将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线,探索新知,(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;,探索新知,追问
2、2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?,追问1 对于问题2,如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处,满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB的长度 相等?,探索新知,问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,追问2 你能利用轴对称的 有关知识,找到上问中符合条 件的点B吗?,探索新知,问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,作法: (1)作点B 关于直线l 的对称 点B; (2)连接AB,与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?,证明:如图,在直线l 上任取一点C(与点C 不 重合),连接AC,BC,BC 由轴对称的性质知, BC =BC,BC=BC AC +BC = AC +BC = AB, A
3、C+BC = AC+BC,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?,证明:在ABC中, ABAC+BC, AC +BCAC+BC 即 AC +BC 最短,若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离 和都大于AC +BC,就说明AC + BC 最小,探索新知,追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C(与点C 不重合),证明AC +BC AC +BC?这里的“C”的作用是什么?,探索新知,追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的?,运用新知,练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返 回P 处,请画出旅游船的最短路径,运用新知,基本思路: 由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为 一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到 一点R,使PR与QR 的和最 小”,已知RtABC,ACB=90,AC=BC,点D是斜边的中点,经过点C引一条直线l(不与AC、BC重合并且不经过点D) 操作:经过点A作AEl,经过点B作BFl,连接DE、DF,猜想DEF的形状并证明,在ABC中,ACB=90AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E (1)当MN绕点C旋转到图1的位置时,请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系(直接写出结论,不要求写出证明过程); (2)当MN绕点C旋转到图2的位置时,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想,并加以证明; (3)当MN绕点C旋转到图3的位置时,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想,并加以证明,E,
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