无截距回归（计量经济学中南财经政法大学向书坚）

1、2019/4/21,1,第4章 双变量线性回归模型的延伸,4.1过原点回归 4.2 尺度与测量单位 4.3 回归模型的函数形式 4.4 弹性测度：对数线性模型 4.5 半对数模型 4.6 倒数模型 4.7 函数形式一览表 4.8 随机误差项的性质注记 4.9 要点与结论（P164),2019/4/21,2,4.1过原点回归,在双变量模型中不出现截距或者为零.其形式为: 模型的特点: 1.对有截距项的模型说总有 ,但 不一定成立。 2.过原点回归的判定系数 不一定非负。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,3,例题：证券组合的溢价问题,采用模型为： =第i种证券的期望回报率 =市场组合证券的期望回报率 =无风险回报率 =Beta系数，指不能通过分散而消除的系统风险。在应用中通常表示为：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,4,如果资本市场有效运行，则CAPM要求：证券I的期望风险溢价 等于期望市场风险溢价 乘以该证券的 系数。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,5,2019/4/21,Cop

2、yright Shujian Xiang,6,模型（4.1.1)的系数估计,先把(4.1.1)写成： 利用OLS法，得到 的如下公式： 其中 估计为：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,7,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,8,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,9,与含有截距项模型公式的比较,后者是： 其差异：1.没截距项的，用粗或原生平方和及交叉乘积和，有截距项的用偏离均值平方和及交叉和。2.计算 时，前者自由度是(n-1),而后者是(n-2)。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,10,过原点回归模型的,不含有截距项的 计算： 注意：1.计算时数据不经过校正； 2. 满足关系 但不同 于 ； 3.应用时采用有截距项为好，否则会犯设定的错误。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,11,组合证券理论的特征线,给出有截距和无截距项的模拟例子，数据如表6.1，模型为： 模拟结果为：,2019/4/21,Copyright Sh

3、ujian Xiang,12,结果的差异： 1.过原点回归模型中估计出来的 的标准差略低， 说明若截距响确实为0,测算的斜率系数为准确一些 2.过原点无截距回归的斜率系数95%置信区间 是(0.6566,1.5232)，而有截距的置信区间 是(0.5195,1.6186)。即前者比后者狭窄些。 3.注意：(4.1.12)的 和(4.1.13)的 是不能 直接比较的。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,13,4.2 尺度与测量单位,选择不同的计量单位对回归结果有何影响？设模型为： 使用变量 、 及 的回归： 由最小二乘理论得：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,14,接上面的公式,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,15,把OLS法应用于(4.2.4)得：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,16,它们之间的关系,利用前面的定义可得：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,17,例题2.P147（表6.2),从前面的6个关系知，

4、这种变换并不影响 OLS估计量的性质。 1.GPDI和GNP都以10亿美元计算 得： 2.GPDI和GNP都以百万美元计算得：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,18,续前,GPDI以10亿美元而GNP以百万美元计得： GDPI以百万美元而GNP以10亿美元计得：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,19,4.3 回归模型的函数形式,对数线性模型 半对数线性模型 倒数模型,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,20,4.4弹性测度：对数线性模型,指数回归模型： 取对数变换得： 改写成双对数模型：,对数-对数模型，或双对数模型，对数线性模型,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,21,设 、 得如下模型： 利用OLS估计量 和 将分别是 和 的最优线无偏估计量。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,22,双对数模型的特点： 1.是斜率系数 测度了Y对X的弹性 2.Y与X之间的弹性系数 在整个范围内保持不变； 3 . 和 分别是 和

5、的无偏估计量，但 进入原始模型的估计 的反对数却是一个有偏的估计量。 不变弹性图如下（图6.3）,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,23,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,24,例题p67（表3.4）,采用双对数型模型拟合结果如下: 变量Y对变量X的弹性E定义为:,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,25,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,26,4.5半对数模型,线性到对数模型 1.复利公式: 2.对(4.5.1)取对数得: 3.假设 4.把(4.5.2)改写为: 5.在(4.5.5)加干扰项得: 6.象(4.5.6)形式的模型叫半对数模型。,因变量取对数的模型叫做线性到对数模型,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,27,半对数回归模型中，斜率系数（回归系数）度量了当给定自变量取值的绝对变化量时，因变量Y的恒定比例或相对变化量,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,28,模型的应用P79，表3

6、.22,用半对数模型模拟结果如下：,回归模型说明：19721991年期间美国实际GDP每年增长2.469%。取8.0139的反对数得到1972年初始值估计值为30227亿美元。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,29,要计算复合增长率，只需要对 0.02469 查反对数，再减去1,则得到0.02499, 即19721991年的复合增长率约为每年2.499%。这一增长率略高于2.469%的瞬时增长率。,图6-4 19721991年美国实际GDP的增长率：半对数模型,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,30,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,31,线性趋势模型,模型为： 注：不做对数Y对时间的回归，而是做Y对时间的回归。 利用P79，表3.22的数据模拟回归结果如下：,比较可知，增长模型4.5.5反映的是因变量随时间变化而发生的相对变化率，线性趋势模型则反映了因变量随时间变化而发生的绝对变化量。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,32,对数到线性模型,模型形

7、式为： 斜率系数的意义： 另一表达式为：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,33,P157的数据的回归结果如下：,因变量取对数的半对数模型I与自变量取对数的半对数模型的区别 半对数模型I反映自变量的绝对量变化一个单位时，因变量变化的百分比； 半对数模型反映自变量变化一个百分比时，因变量的绝对变化量。,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,34,4.6 倒数模型,倒数模型形式为： 模型的特点：随X无限增大，Y值趋于极限 （渐近线）。 倒数模型的几种渐近线形式图如下：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,35,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,36,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,37,菲利普斯曲线,菲利斯曲线是表示在工资和价格的膨胀与失业之间的一种经验性的相互关系。 菲利普斯曲线图如下：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,38,P161的例,6.4数据的菲利普斯线回归结果如下： 模拟图如下：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,39,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,40,4.7函数形式一览表,表6.5如下：,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,41,6.8随机误差项的性质注记,回归模型： 加上不同形式的随机误差项及对应取对数模型如下：其中,2019/4/21,Copyright Shujian Xiang,42,6.9 要点与结论（P164),

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