方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-3

1、1,第三章,正交试验设计,2,3.1 正交表,定义 正交表 是一个 的矩阵, 其中 个列有 个水平 ，并满足,a) 各列元素的重复数相同 b) 任两列诸元素组合的重复数相同,若水平数都相同, 则记为 Ln(qm).,3,正交表中字符含义,正交表,试验总数,因子的水平数,q1 水平因子的列数,水平数不同的数目,4,正交表 L9(34),5,正交表 L8(27),6,正交表 L8(424),7,列正交性 :,8,列正交性 :,9,常用的正交表如下:,二水平正交表:,三水平正交表:,四水平正交表:,五水平正交表:,混合正交表:,10,等价和同构,两个正交表称为等价的，如果对其中一张表进行适当的行置换和列置换可以得到另一张表 两个正交表称为同构的，如果对其中一张表进行适当的行置换、列置换及水平置换可以得到另一张表,11,附. 构造正交设计的方法,A. Hardmard 矩阵,一个 n n 矩阵 H 称为 Hardmard 矩阵，若其矩阵元素都是 -1 或 1, 且 HH = nIn.,12,Hardmard 矩阵的标准型：矩阵第一列元素都为 1,13,B. 扩大小正交设计表,可以类似的得到,1

2、4,C. 拉丁方,一个 nn 的对称矩阵, 若每行/列中，每个元素都只出现一次.,* 该矩阵为循环拉丁方,15,正交拉丁方,9 个水平组合都只出现一次.,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,17,1779年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的请求，研究一个又阅兵式产生的问题：有6个不同的师团，各选出上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一人，能否把这36人排成6*6的方阵，使得每行每列都有各个师团各种军衔军官的代表？ 这个问题的一般提法是： 有n个不同的拉丁字母和n个不同的阿拉伯数码，能否把它们排成n*n的方阵，使得每行每列的n个字母和n个数码都互不相同并且行和列之间均不会出现相同的排法。这个问题称为n阶正交拉丁方问题。,欧拉猜想:,18,当 N=6, G. Tarry 在 1900 年证明该猜想成立. Bose, Shrikhande and Parker (1960) 证明当 t1 时，该猜想都不成立.,当 N=2 (mod 4), i.e., N=4t+2, t0 时，正交拉丁方设计不存在,欧拉猜想:,19,10 10 正交拉丁方如下：,20,3.2 无相互作用的正交设计,例3.1.

3、例2.11续 对例2.11 中考虑的饮料灌注时的溢出容量问题，请利用正交表L9(34) 来安排试验，并找出好的灌注方案以减低溢出容量。,21,3.2.1 用正交表进行设计,把A，B，C 分别放入第 1， 2，3列,A B C,把第一列中 1,2, 3 替换成因素A 的各水平.,类似处理第二三列.,根据这 9 个水平组合做试验得到 9 个响应，列入最后一列。,22,对上述设计之疑问: 可比性 无重复 设计中有 y 过高的水平组合,数据分析 :,直观分析 方差分析 回归建模,23,3.2.2 试验结果的直观分析,(A). 计算均值,24,(b) 画平均溢出容量图,最佳水平组合为 A3 B2 C1,25,C.计算极差,的极差定义为,RC RB RA,主次 C B A,26,结论,获得最佳或满意的水平组合。本例中我们得到的最佳水平组合为A3B2C1，它与9 次试验中最好的水平组合第8号试验是相同的。通常情况下，如果直观分析法得到的最佳水平组合未出现在已知的部分实施的试验中，则需要进一步分析或追加验证试验。 区分因子的主次。本例中因子C 是主要因子，因子B 次之，因子A 是最次要的。,27,3.

4、2.3 试验结果的方差分析,例如,28,统计模型,设因素间没有交互作用:,29,30,三因素在第一水平下均值之估计为:,独立同分布,31,32,估计的精度 :,33,主效应等估计的精度:,34,拟合与残差:,35,试验点分布的几何解释,36,3.2.3 ANOVA: Sum of Squares,37,表3.4. 溢出容量试验的方差分析表,剔除一个最不显著的因子 A,38,表3.5.剔除A 后溢出容量试验的方差分析表,结论：因素B，C都显著。与直观分析法的结论一致,39,由于因素A是定性数据，因此需要引进两个伪变量：,3.2.4 试验结果的回归分析, = 0 + 11 z1 + 12 z2 + 2 B + 3 C,则一次拟合模型为：,40,一次模型 = 132.667+ 10.333 z1+ 16.333 z2 + 1.117 B + 0.200C, 系数的 t 检验，p值都大于 0.05,41,二次中心化模型 =0 + 11 z1 + 12 z2 + 2 (B-120) + 3 (C-15) +11 (B-120)2 + 22 (B-120)(C-15) +33 (C-15)2, 用

5、逐步回归可得 = 50.111 - 4.947 (B 120)2 +0.171(C 15)2, （R2 = 0.939）,42,43,3.3 有交互作用的正交设计,例3.2 某化工厂生产一种化工产品，影响采收率的4个主要因子如下。 催化剂种类(A): 1, 2 反应时间(B): 1.5h, 2.5h 反应温度(C): 80oC, 90oC 加碱量 (D): 5%, 7%. 根据经验，认为可能存在交互作用AB 和AC。现希望通过正交试验设计，找出好的因子水平搭配，以提高采收率。,44,L8(27),L18(27)的交互作用列,3.3.1 正交表设计,45,如果上述四个主效应和六个交互效应都重要,则L8(27)之设计产生混杂。若已知 A x B, A x C, 可能显著，其余交互效应可忽略,则有:,46,47,D A AxC C B AxB,3.3.2 直观分析,48,3.3.3 方差分析,AB，B 不显著，纳入随机误差重新计算其余因子的 P 值,49,D，A，A C 的 p 值小于0.01，显著 C 有些也认为显著,50,最佳的水平组合为 由表 3.11可取 A2B2C1D1 ，正好是第

6、7 号试验,判断最佳水平组合,从表3.11 中它们的二个水平的平均响应值(m1 和m2) 可知，D 因子应取D1 水平,51,本节小结 : 1.试验目的 2.决定因素、水平 3.选正交表,4.数据分析: (a) 直观分析 (b) 方差分析 (c) 回归建模,52,补充：多目标试验,例. 在一个橡胶试验中考虑如下四个因素，及水平 ：,53,表: 橡胶试验 结果和分析,其中有 3 个响应. 结果希望灵活性和运动时间越长越好，而耐久性越短越好.,54,表: 橡胶试验 结果和分析,55,56,表: 对三个响应排序，计算秩和（从小到大）,57,表: 四因素的秩和,A1B1D1M3 与前面的结果一致.,58,表: 四因素的秩和另一种算法（分区间）,59,表: 秩和,A1B1D1M3 与前面的结果一致.,60,3.4 水平数不等的试验设计,61,例3.3. 某钢厂生产一种合金，为降低合金的硬度需要进行退火热处理，希望通过试验寻找合理的退火工艺参数，以降低硬度。现考察如下因子与水平：,62,表3.15. 合金硬度试验的方案、结果和分析,63,从图形得到最佳水平：A2B2C1,图3.2. 硬度指标与三因

7、子的关系图,64,折算系数表:,主次 B C A,65,方差分析表,剔除不显著的因子，再重新作方差分析,66,方差分析表,对因子C，显然取C1 = 空气比C2 = 水节省成本， 对因子A，退火温度越低应该越节省成本，但也不能盲目地取低水平。 与前面直观分析法得到的结果综合起来考虑，建议取A2B2C1 为最佳水平组合，并在该水平组合下追加试验以验证其是否为最优。,67,3.4.2 拟水平法,拟水平法：,例3.4. 如果在例3.1 的试验中还要考虑碳酸饮料中二氧化碳含量(D) 这个因子对溢出容量的影响，而二氧化碳含量只有D1 = 0.5 和D2 =0.6(g/100mL) 两种，这时如果直接用混合水平正交表就要用L18(2137)，需要做18 次试验。,68,3.5 用正交表进行设计的原则,正交表的自由度为试验次数减一； 正交表中各列的自由度为该列的水平数减一； 各因子的自由度为该因子的水平数减一； 各交互作用的自由度为该交互作用中各因子对应的自由度的乘积；,3.5.1 遵循自由度原则,69,例如：,因子的自由度应等于所在列的自由度； 交互作用的自由度应等于所在列的自由度或其之和； 所有因

8、子与交互作用的自由度之和不能超过所选正交表的自由度。,70,混杂现象：一列上出现的因子和交互作用不止一个,3.5.1 避免混杂现象,例3.5. 在降低柴油机耗油率的研究中，根据专业技术人员的分析，影响耗油率(g/kWh) 的4 个主要因子和水平为：,71,用正交表L8(27) 及相应的交互作用表 (表3.7 和3.8)：,若已知 D 和其它三个因子没有交互作用，即交互作用A D，B D，C D 为零，故设计实际上成为,72,73,水平选取,C 是最主要的，C 列的 m2 比 m1 小，于是因子C 取水平C2 A 对响应的影响也很大，A 列 m2 比 m1 小，于是因子A 取水平A2 BC 对耗油率的影响居第三位 因子D 取水平D1,最佳水平组合A2B2C2D1，需要追加验证试验,74,分辨度,分辨度III 设计：在假定二阶和二阶以上交互作用可忽略的情况下，主效应之间没有混杂，但至少有一个主效应与某个二阶交互作用混杂； 分辨度IV 设计：在假定三阶和三阶以上交互作用可忽略情况下，主效应之间，主效应和二阶交互作用没有混杂，但至少有一个主效应与某个三阶交互作用混杂； 分辨度V 设计：在假定三

9、阶和三阶以上交互作用可忽略情况下，主效应之间，主效应和二阶交互作用之间，以及任两对二阶交互作用没有混杂。,75,例 3.5 (续),第一个是分辨度IV 的设计，而第二个为分辨度III 的设计。 当试验者对模型不十分清楚时，通常取分辨度级别高的设计，因此常推荐第一个试验方案。,76,利用正交表消除 / 减轻系统误差,若例 3.1 中试验分别由 (甲，乙，丙) 三人操作，,77,3.6 正交设计的优良性准则,按照2.5.3小节介绍的效应稀疏原则和有序原则，我们应采用设计I，以保证主效应的估计,例3.5 的试验中有4 个因子，选用L8(27)：,78,将设计进行分类； 给出比较不同设计的准则。,通过上述讨论可知，从一个正交表Ln(qm) 中取出 s 列组成的 个设计可能有不同的效果，于是提出了下面急需解决的问题:,79,设某试验中有 5 个二水平因素, A, B, C, D, E. 若选用 L8(27)， 增加一列 I 如下：,由点乘可知, I=ABD=BCE=ACDE,3.6.1 最大分辨度与最小低级混杂,80,应用点乘，我们有如下结论: 除了单位列 I, 每一列有相同的正数与负数; 任意两列的点乘之和都为 0; 单位列 I 点乘任何一列都不改变结果; 任意 2 列点乘的结果为表中某一列 对任何一列 A, A2=I, AI=A,81,25-2设计的两种表示,82,某些记号: 字母: A, B, 字: AB, BC, ABD, 字长: 字中字母的个数 生成字: 字中字母点乘为 I 定义关系: I = ABD = BCE 定义对照子群: I, ABD, BCE, ACDE,83,混杂 我们记 1, 2, 3, 4, 5 代替 A, B, C, D, E I = 124 = 235= 1345,则我们有,1 = 24 = 1235 = 345 2 = 14 = 35 = 12345 3 = 1234 =25 = 145 4

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