在三角形与四边形中“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

1、有关三角形、四边形中“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE因为BAC的平分线交BC于点D，所以EAM=NAM，又因为AM=AM， 所以AMEAMN，所以ME=MN所以BM+MN=BM+MEBE因为BM+MN有最小值当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4故填41.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2

2、,EM+CM的最小值为 . 分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可解：因为等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EFBC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ECF=60，FEC=30，所以FC=2,EF=2因为BC=6，FC=2，所以BF=4在直角三角形BEF中，BE=.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3如图3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PCPD和最小，为线段CE因为AD4，所以AE=4因为ABC90，ADBC，所以EAP90因为AP

3、EBPC,所以APEBPC，所以.因为AE=4，BC6，所以，所以，所以,因为AB5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为 分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PAPB和最小，为线段BD过点D作DGBC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，ABC=60，所以C=60，GDC=30，所以GC=,DG=因为ABC60，ADBC，所以BAD120因为AB=AD，所以ABD=ADB=30，所以ADBC=30，所以BD=2DG=2=所以PA+PB的最小值为2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点解：如图5

4、所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PEPB和最小，为线段ED因为四边形ABCD是菱形，且BAD=60，所以三角形ABD是等边三角形因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DEAB，所以ED=所以PEPB的最小值为2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DNMN和最小，为线段BM因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8因为DM=2，所以MC=6，所以BM=10.所以DN+MN的最小值为10.例7如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为 cm（结果不取近似值）分析：在这里PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题

5、因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ在RtCDQ中，DQ= ，所以PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案为+1例8如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ CC= D+CE=DE+CE，所以的周长最小.因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以 BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GCEF，GC=EF，所以 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小. 因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0） 第 7 页

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