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多元线性回归模型(计量经济学浙江大学韩菁)

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    • 1、第三章 多元线性回归模型,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,一、多元回归模型及其表示,二、多元回归模型的基本假定,3-3 多元线性回归模型的统计检验,3-2 多元线性回归模型的参数估计,二、OLS估计量的统计性质及其分布,三、随机误差项方差2的估计,一、拟合优度检验,二、回归参数的显著性检验(t检验),三、回归方程的显著性检验(F检验),3-4 多元线性回归模型的置信区间,一、参数的最小二乘估计,一、参数估计量的置信区间,二、应变量预测值的置信区间,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,一、多元回归模型及其表示,第三章 多元线性回归模型,含有两个及以上解释变量的回归模型称为多元回归模型。多元线性回归模型的一般式为:,k为解释变量的个数,如果将常数项看成取值始终为1的虚变量,则解释变量的数目为(k+1)。,模型中的回归系数j(j=1,2,k)表示:当其它解释变量保持不变时,第j个解释变量变动一个单位对应变量的影响。多元线性回归模型中的回归系数称为偏回归系数。,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,一、多元回归模型及其表示,第三章 多元线性回归模型,含有两个及以上解释变量的回归模型称为

      2、多元回归模型。多元线性回归模型的一般式为:,多元线性样本回归模型,多元线性样本回归方程,多元线性总体回归方程,多元线性总体回归模型,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,一、多元回归模型及其表示,第三章 多元线性回归模型,多元线性回归模型的矩阵表示形式:,将n组观测样本值代入模型一般式,得:,多元线性总体回归模型的矩阵表示,多元线性样本回归模型的矩阵表示,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,二、多元回归模型的基本假定,第三章 多元线性回归模型,E(i)=0,1、随机误差项具有零均值,表明:平均地看,随机误差项有互相抵消的趋势。,2、随机误差项具有同方差,Var(i)=2,表明:对每个Xi,随机误差项i的方差等于一个常数2。即解释变量取不同值时, i相对各自均值(零均值)的分散程度是相同的。应变量Yi具有与i相同的方差。应变量Yi可能取值的分散程度也是相同的。,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,二、多元回归模型的基本假定,第三章 多元线性回归模型,Cov(i, j)=0,ij,3、随机误差项在不同样本点之间是独立的,不存在序列相关,无自相关假定表明:产生误差(干扰)的因素是完全随机

      3、的,此次干扰与彼次干扰互不相关,互相独立。由此应变量Yi的序列值之间也互不相关。,因为i与j相互独立,有:,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,二、多元回归模型的基本假定,第三章 多元线性回归模型,Cov(Xji, i)=0,4、随机误差项与解释变量之间不相关,Xji与i相互独立,互不相关,即随机误差项i和解释变量Xji是各自独立对应变量Yi产生影响。事实上,在回归分析中, Xji在重复抽样(观测)中固定取值,是确定性变量,该假定自动满足。,5、随机误差项服从正态分布(结合假定1、2),iN(0, 2),随机误差项i正态分布的假定对模型的统计检验是很重要的。,3-1 多元线性回归模型及其基本假定,二、多元回归模型的基本假定,第三章 多元线性回归模型,6、各解释变量之间互不相关,即不存在线性关系,在此条件下,解释变量观测值矩阵X满秩,Rank(X)=k+1, 方阵XX也满秩,Rank(XX)=k+1, 行列式|XX|0,方阵XX可逆,(XX)-1存在。,3-2 多元线性回归模型的参数估计,一、参数的最小二乘估计,第三章 多元线性回归模型,3-2 多元线性回归模型的参数估计,一、参数的最

      4、小二乘估计,第三章 多元线性回归模型,多元线性样本回归模型的矩阵表示,(极值条件),3-2 多元线性回归模型的参数估计,一、参数的最小二乘估计,第三章 多元线性回归模型,二、OLS估计量的统计性质及其分布,1、线性:,指参数估计量 是观测值Yi的线性函数。,2、无偏性:,指参数估计量的期望等于模型参数值。,3、有效性(最小方差性):,指在所有线性、无偏估计量中,OLS参数估计量的方差最小。,4、 服从正态分布,即:,其中, , 2是随机误差项的方差, Cjj是矩阵(XX)-1中第j行第j列位置上的元素。,3-2 多元线性回归模型的参数估计,一、参数的最小二乘估计,第三章 多元线性回归模型,二、OLS估计量的统计性质及其分布,三、随机误差项方差2的估计,参数估计的另一项任务是:求随机误差项i的分布参数,iN(0, 2),随机误差项i的方差的估计量为:,可以证明:,称作回归标准差(standard error of regression),常作为对所估计回归线的拟合优度的简单度量。,说明 是2的无偏估计量。,3-2 多元线性回归模型的参数估计,第三章 多元线性回归模型,四、样本容量问题,1

      5、、最小样本容量,从OLS原理出发,欲得到参数估计量,不管其质量如何,所要求的样本容量的下限。,欲使 存在,必须使得(XX)-1存在。 欲使(XX)-1存在,必须满足|XX|0,即(XX)为(k+1)阶满秩矩阵。 矩阵乘积的秩不超过各个因子矩阵的秩。即:R(XX)min(R(X),R(X)。只有当R(X)k+1时, 矩阵(XX)才为(k+1)阶满秩矩阵。 X为n(k+1)阶矩阵,其秩最大为(k+1),此时必须有nk+1,即样本容量必须不少于模型中解释变量的数目(包括常数项)。,3-2 多元线性回归模型的参数估计,第三章 多元线性回归模型,四、样本容量问题,1、最小样本容量,从OLS原理出发,欲得到参数估计量,不管其质量如何,所要求的样本容量的下限。,2、满足基本要求的样本容量,nk+1,虽然当nk+1时可以得到参数估计量,但除了参数估计量质量不好以外,一些建立模型所必须的后续工作也无法进行。例如,参数的统计检验要求样本容量必须足够大,Z检验在n30时不能应用;t检验为检验变量显著性的最常用方法,当n-k8时t分布较为稳定,检验才较为有效。所以,一般经验认为,当n30或者至少n3(k+1)

      6、时,才能满足模型估计的基本要求。,Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 01/13/05 Time: 20:23 Sample: 1 18 Included observations: 18 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -50.01638 49.46026 -1.011244 0.3279 X 0.086450 0.029363 2.944186 0.0101 T 52.37031 5.202167 10.06702 0.0000 R-squared 0.951235 Mean dependent var 755.1222 Adjusted R-squared 0.944732 S.D. dependent var 258.7206 S.E. of regression 60.82273 Akaike info criterion 11.20482 Sum squared resid 55491.07 Schwarz criterion 11.353

      7、21 Log likelihood -97.84334 F-statistic 146.2974 Durbin-Watson stat 2.605783 Prob(F-statistic) 0.000000,例:建立家庭书刊消费水平(Y)关于家庭收入(X)和户主受教育年限(T)的线性回归模型。,Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 01/14/05 Time: 17:31 Sample(adjusted): 1981 1996 Included observations: 16 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 540.5286 84.30153 6.411848 0.0000 X 0.480948 0.021861 22.00035 0.0000 Y(-1) 0.198545 0.047409 4.187969 0.0011 R-squared 0.999773 Mean dependent var 1

      8、3618.94 Adjusted R-squared 0.999739 S.D. dependent var 11360.47 S.E. of regression 183.6831 Akaike info criterion 13.43166 Sum squared resid 438613.2 Schwarz criterion 13.57652 Log likelihood -104.4533 F-statistic 28682.51 Durbin-Watson stat 1.450101 Prob(F-statistic) 0.000000,例:建立中国消费模型。Y代表消费总额,X代表国内生产总值。Y(-1)代表前一年消费总额。,3-3 多元线性回归模型的统计检验,一、拟合优度检验,第三章 多元线性回归模型,总离差平方和TSS (Total Sum of Squares),回归平方和ESS (Explained Sum of Squares),残差平方和RSS (Residual Sum of Squares),反映样本观测值总体离差的大小。也称总平方和。,反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小,反映样本观测值与估计值偏离的大小,是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。也称剩余平方和。,1、总离差平方和的分解,检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解基础上确定的可决系数R2(调整的可决系数 )度量。,3-3 多元线性回归模型的统计检验,一、拟合优度检验,第三章 多元线性回归模型,总离差平方和TSS,回归平方和ESS,残差平方和RSS,1、总离差平方和的分解,可决系数R2度量了回归模型对Y的变动解释的比例。 R2越大,说明在Y的总变动中由模型作出了解释的部分占的比重越大,模型拟合优度越高,模型的解释功能越强。,检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解基础上确定的可决系数R2(调整的可决系数 )度量。,自由度,2、可决系数R2,3-3 多元线性回归模型的统计检验,一、拟合优度检验,第三章 多元线性回归模型,总离差平方和TSS,回归平方和ESS,残差平方和RSS,1、总离差平方

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