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湖南省长沙市2019届高三上学期第五次调研考试数学(文科)试题(附解析)

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  • 上传时间:2019-04-20
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    • 1、- 1 - 20182019 学年高三第五次调研考试学年高三第五次调研考试 文科数学试卷文科数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)要求的) 1.已知实数a满足,且,则 A. 2i B. -2i C. 2-i D. -2-i 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用复数相等得到,再利用复数的除法得到 . 【详解】因为,故. 又,故选 C. 【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念,属于基础题. 2.设集合,则 A. (0,1) B. 0,1) C. (0,1 D. 0,1 【答案】A 【解析】 【分析】 算出两个集合后可求它们的交集. 【详解】,故,故选 A. 【点睛】一般地,在考虑集合的交、并、补时,要认清集合中元素的含义,如表示函数的定 义域,而表示函数的值域,表示函数的图像. 3.“函数在区间上单调递增”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要

      2、条件 【答案】B 【解析】 - 2 - 【分析】 考虑函数在上为单调递增时实数 的取值范围后可得两者的关系. 【详解】若,则对称轴,所以在上为单调递增, 取,则对称轴,在上为单调递增,但,所以“在上为单调递增” 是“ ”的必要不充分条件. 【点睛】充分性与必要性的判断,可以依据命题的真假来判断,若“若 则 ”是真命题, “若 则 ”是假命 题,则 是 的充分不必要条件;若“若 则 ”是真命题, “若 则 ”是真命题,则 是 的充分必要条件;若 “若 则 ”是假命题, “若 则 ”是真命题,则 是 的必要不充分条件;若“若 则 ”是假命题, “若 则 ” 是假命题,则 是 的既不充分也不必要条件. 4.已知函数的图象过定点P,且角 的终边过点P,始边与x轴的正半轴重合,则 的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 的坐标,再求出,最后利用倍角公式求出后可得. 【详解】因为的图像过定点 ,所以,故, ,故选 C. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题,我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去 分析,处理次数差异的方法是升幂降幂法,解决函数名差异

      3、的方法是弦切互化或者诱导公式,而结构上差异 的处理则是已知公式的逆用等,最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 5.数列满足点 在直线上,则前 5 项和为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点在直线上可以得到,从而得到,故为等比数列,根据公式可求. - 3 - 【详解】因为在直线上,所以,故, 所以当时,有即, 又,故,所以,所以是首项为 ,公比为 的等比数列, ,选 A. 【点睛】数列的通项与前 项和 的关系式,我们常利用这个关系式实现与之 间的相互转化. 6.设点 为坐标原点,点E(1,k) ,点P(x,y)满足,若目标函数的最大值 为 10则实数k A. 2 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 目标函数为,画出不等式组对应的可行域,分两种情形结合目标函数最值讨论动直线 的位置可得实数 的值. 【详解】由题设,有,不等式组对应的可行域如图所示: 其中,. 当时,动直线过 时有 有最大值,且最大值为,故. - 4 - 当时,动直线过 或 时 有最大值,过前者,则最大值为 ,不合题意;若为后者,舍去. 综上,选 C. 【点睛】二

      4、元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题,常通过线性规划来求最值,求最值时往往要考二 元函数的几何意义,比如表示动直线的横截距的三倍 ,而则表示动点与 的连线的斜率 7.我国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题, “物不知数”问题,原文如下:“今有物 不知其数,三三数之剩二;五五数之剩三;七七数之剩二问物几何?”其大意为:一个整数除以三余二, 除以五余三,除以七余二,求这个整数这类问题可以用计算机解决记Nr(MOD m) ,即正整数N除以 正整数m的余数为r,例如 102(MOD 4) 执行如图所示的程序框图,则输出的i等于 A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 流程图的作用是求最小的正整数,满足除以的余数分别为 【详解】流程图是求最小的正整数,满足除以的余数分别为除以 余数为 的正整数依次为 ,其中第一个除以余数分别为的正整数为,是第 8 个整数,故 的输出值为 , 选 C 【点睛】本题考查流程图,要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值,属于基础题 - 5 - 8.已知命题为奇函数;命题,则下面结论正确的是 A. 是真命题 B. 是真命题 C

      5、. 是假命题 D. 是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断命题都是真命题,故可得正确选项 【详解】对于 ,的定义域为, , 进一步化简得到, 故为奇函数,故 为真命题 对于 ,考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系,如图所示, ,因为, 故,即故 为真命题, 综上,为真命题,选 B 【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真,全假才假” ,的真假判断为“全真才真,一假必假” , 的真假判断是“真假相反” 9.已知抛物线上一点M(4,y0) (y00)到焦点F的距离为 5,直线l过点N(-1,0) , 且lOM,则直线l与抛物线C的交点个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1 个或 2 个 【答案】B - 6 - 【解析】 【分析】 利用焦半径公式计算出 后可得的坐标和抛物线的方程,再计算出直线 的方程,联立直线 的方程和抛物线 方程利用判别式可得它们交点的个数 【详解】,所以, 又,故,直线 由可得,解得, 故直线 与抛物线只有一个交点选 B 【点睛】一般地,抛物线 上的点到焦点的距离为;抛物线 上的点 到焦点的距离为.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程

      6、和抛物线方程结合判别式来讨论. 10.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,如果存在实 数x0,使得对任意的实数x,都有成立,当 取最小值时 A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的零点和对称轴得到 的值,再根据恒成立可以得到 的表达式,求出 的最小 值后再求函数的单调区间可得正确的选项. 【详解】因为为函数的零点,故. 因为是图像的对称轴,故,故,. 因,故或者,所以或者, . 因恒成立,故, 若,故,所以,故; - 7 - 若,则,所以,故; 所以,令, 故,所以在上为增函数, 故选 B. 【点睛】一般地,我们研究的图像和性质时,通常用复合函数的方法来讨论,比如求函数的 单调区间时,我们先确定的单调性,再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出 的范围 即可,比如求函数的对称轴、对称中心时,可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心. 11.已知P是边长为 3 的等边三角形ABC外接圆上的动点,则的最大值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设的外接圆的圆心为 ,则,故,计算的

      7、最大值 可求的最大值. 【详解】设的外接圆的圆心为 ,则圆的半径为, ,故 . ,故,当共线同向时取最大值.选 D. 【点睛】向量数量积或模长的计算中,注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外,在三 角形 中,如果 为三角形的重心,则. 12.对于任意的,关于x的方程在上有三个根,则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 - 8 - 原方程可以化成,取,利用导数研究两个函数的单调性、 极值和最值可得实数 的取值范围. 【详解】原方程可以化成,取,. , 当时,故在上为减函数; 当时,故在上为增函数; 当时,故在上为增函数; , ,故,在上为增函数. 因为关于 的方程在有三个不同的实数根,故 ,故,解答,故选 A. 【点睛】复杂方程的解的问题,应结合方程的特点将已知方程转化为熟悉函数对应的方程,再把方程解的特 征转化为函数应该具有的特征,最后利用导数研究函数的单调性、极值等结合函数特征得到参数的取值范围, 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分)分) 13.已知三棱锥

      8、ABCD的四个顶点都在同一个球的球面上,AB,BC3,AC2,若三棱锥 ABCD体积的最大值为,则此球的表面积为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 为直角三角形,设球的半径为 ,体积最大时, 到的距离为,利用体积的最大值计 算出 后可得球的表面积 - 9 - 【详解】为直角三角形,设球的半径为 ,球心为 ,的中点为, 则平面,因平面,故 三棱锥的最大体积为 , 解得,故球的表面积为,填 【点睛】几何体的外接球的问题,关键是确定出球心的位置和球的半径,后者的计算需要把直径或半径放置 在可解的三角形中 14.设是函数的一个极值点,则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用可得的值,从而得打的值 【详解】因为为的极值点,故即, 所以,故,填 【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质,它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性,用数学语言描 述则是:“在的附近的任意附近的任意 ,有() ” 另外如果在附近可导且的左右两侧 导数的符号发生变化,则必为函数的极值点且 15.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线C上一点,以F1F2为直径 的圆与双曲线的渐近线交于点Q,P、Q均位于第一象限,

      9、且P为QF2的中点,则双曲线C的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 的坐标为,从而,代入双曲线方程后可得离心率 【详解】双曲线的一条渐近线的方程为,设其倾斜角为 ,右焦点, 则,故 又,故,所以,代入双曲线方程有,从而填 - 10 - 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值 范围,则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组 16.已知直线与曲线至少有一个公共点,则 的取值范 围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 直线 过定点,曲线 如图所示,计算出动直线与曲线在第二象限内的圆弧相切以及动直线与 第一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得 的取值范围 【详解】直线 过定点,曲线 如图所示: 其中,各圆弧所在圆的半径为,设过 的动直线为 即, 考虑动直线与第二象限的曲线相切时有 ,解得或(舎) 过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作 的平行线,与曲线在第一象限内的交点为 ,则,故直 线分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切, 故当动直线与曲线至少有一个公共点时, 若斜率存在() ,则即,也就是; 若斜率不存在,则 综上,故填 - 11 - 【点睛】动直线中含有两个参数,因为两个参数是齐次的,故而可判断动直线过定点曲线的方程具有这样 的特点:若在曲线上,则也在曲线上,故曲线关于 轴对称、关于 轴对称、关于原点对称, 故而可准确刻画曲线的形状 三、解答题(共三、解答题(共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知正项数列满足 ()求数列的通项公式; ()令,记数列的前n项和为Tn,求证: 【答案】 ()通项公式为;()详见解析 【解析】 【分析】 (1)用数学归纳法可求的通项 (2)由(1)可得,利用基本不等式可以证明,从而可证 【详解】 (1),从而猜测:,下面用数学归纳法证明: 当时,有; 设当时,有,则当时, 有,所以当时,

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