江苏省如东中学2019届高三第二次学情测试数学（附解析）

1、2019届高三年级第二次学情测试数学（含理科加试）（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合则 .【答案】【解析】试题分析：故答案应填：【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2.“”是“”的_条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】 x2,或x2,或x0.根据充分不必要的定义，判断出“x2”是“” 充分不必要.故答案为：充分不必要【点睛】本题考查的是不等式的解法和充分不必要的判断，属于基础题.3.命题“若，则”的否命题为_【答案】若，则【解析】试题分析：根据否命题的概念，有否命题为：若，则考点：四种命题及其相互关系4.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据根式的被开方式非负和对数的真数大于0，列出不等式求出即可；【详解】 ,故答案为：【点睛】本题考查了求函数的定义域，就是使各个式子有意义即可，属于基础题.5.函数在上为奇函数，且

2、时，则当时， _.【答案】【解析】试题分析：为奇函数，时，当时，即时，故答案为：.考点：函数解析式的求解及常用方法.6.曲线在点处的切线的斜率为，则_【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。详解：则所以故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。7.已知倾斜角为的直线l的斜率等于双曲线的离心率，则_【答案】【解析】【分析】由题意知;tan= ,sin,利用三角函数关系得出结果即可.【详解】双曲线的离心率， ，因为为直线的倾斜角，所以 sin=2sin= 故答案为： .【点睛】本题考查的是利用双曲线的离心率得出tan，再利用三角函数的倍角公式得出结果即可，属于基础题.8.在正四棱锥中，点是底面中心，侧棱，则该棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积【详解】在正四棱锥SABCD中，侧棱SA=2，高SO=2，底面中心到顶点的距离AO=2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB2=16该棱锥的体积为V=SA

3、BCDSO=162=故答案为：【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题9.对于任意实数，定义设函数，则函数的最大值是_.【答案】1【解析】【分析】分别作出函数f（x）=3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=3+x和g（x）=log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）=minf（x），g（x）的最大值【详解】x0，f（x）=x+33，g（x）=log2xR，分别作出函数f（x）=3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=3+x和g（x）=log2x的图象可知，h（x）=minf（x），g（x）的图象，在这两个函数的交点处函数h（x）=minf（x），g（x）的最大值解方程组 得 ，函数h（x）=minf（x），g（x）的最大值是1故答案为：1【点睛】本题主要考查了函数的最值及其数形结合的方法，利用对数函数的单调性与特殊点求出结果，属于基础题10.已知点，是曲线上一个动点，则的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：设，则，由，得，所以，令，则，所以考点：平面向量的数量积

4、的运算；三角函数的最值.11.若，则_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式得 的值，再利用余弦的二倍角公式即可得到答案.【详解】，根据诱导公式得 ，则= 故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用.12.椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AFBF，ABF，则椭圆的离心率的取值范围为_【答案】【解析】【分析】设左焦点为F，根据椭圆定义：|AF|+|AF|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是RtABF的斜边中点可知|AB|=2c，在RtABF中用a和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据的范围确定e的范围【详解】B和A关于原点对称，B也在椭圆上，设左焦点为F根据椭圆定义：|AF|+|AF|=2a又|BF|=|AF|AF|+|BF|=2a O是RtABF的斜边中点，|AB|=2c又|AF|=2csin |BF|=2ccos 代入2csin+2ccos=2a= 即e= a，+ sin（+）1 e故答案为：，【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题

5、时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，要特别利用好椭圆的定义，是中档题13.在平面直角坐标系中，圆与圆相交于两点，若在直线上存在一点，使成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可知O，M在直线AB两侧，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围【详解】圆O的圆心为O（0，0），半径为r，圆M的圆心为M（2，2），半径为2|OM|=4，圆O与圆M相交，2r6对于直线AB上任意一点P，均有成立，O，M在直线AB两侧又OMAB，当直线AB过点M时，OA=2 2 r6故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，圆与圆的位置关系，属于中档题14.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则_.【答案】【解析】【分析】求解直线 恒过定点（，0），k0恰有三个公共点，其直线必过f（x）的对称点（，0），其它两点是直线与f（x）的切点，那么x1+x3=，由导函数几何意义：f（2x）=-sin2=k，再由切线方程即可求出.【详解】由题意，直线可得y=k(x-)恒过定点（，0），即x2=k0恰有三个公共点，其直线必与（x）的相切，因为f（x）关于（，0）对称，

6、所以x1+x3=，导函数几何意义：f（2x）=-sin2=k所以切线方程：y- 过（，0）所以 ，= = 故答案为：【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.二、解答题：共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.15.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的两个三等分点.（1）求证平面；（2）若平面平面，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结BD，AC相交于O，证明BEOF，即可证明BE平面ACF；（2）过A作AHPC于H，利用面面垂直的性质证明AH平面PCD，从而证明AHCD，然后利用线面垂直的性质证明PCCD【详解】（）连接BD、AC，两线交于O，O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分），F是DE的中点（由三等分点得到），OF是DEB的中位线，BEOF，OF面ACF，BE面ACF，BE平行平面ACF（）过A作AHPC于H，平面PAC平面PCD，AH

7、平面PCD，CD平面PCD，AHCD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD又PAAH=A，CD平面PAC，PC平面PAC，PCCD【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及面面垂直的性质应用，注意把判定定理和性质定理条件写全，综合性较强16.已知向量，向量与向量的夹角为，且.（1）求向量；（2）设向量，向量，其中，若，试求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=1根据向量数量积的运算法则，可得到关于x，y的方程组，解方程可得向量的坐标；（2）由向量=（1，0）向量，其中(，)，其中，若0，我们可以求出2的表达式，利用三角函数的性质可得的取值范围【详解】（1）设向量=（x，y），向量=（1，1），则=x+y=1=|cos=1，即x2+y2=1解得x=0，y=1或x=1，y=0故=（1，0），或=（0，1），（2）向量=（1，0），则=（0，1），又向量=（cosx，cos2（），+=（cosx，cos2（）1）=（cosx， ），则|+|2=cos2x+=cos2x-sinx+=- ， |

8、+|2 故|+|【点睛】本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，最后转化成二次函数在上求最值是解答本题的关键，属于中档题.17.梯形顶点在以为直径的圆上，米.（1）如图1，若电热丝由这三部分组成，在上每米可辐射1单位热量，在上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧和弦这三部分组成，在弧上每米可辐射1单位热量，在弦上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝辐射的总热量最大.【答案】（1）9单位；（2）米.【解析】【分析】（1）取角为自变量,设AOB，分别表示AB，BC,根据题意得函数8cos+8 sin,利用二倍角余弦公式得关于sin二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量,设AOB，利用弧长公式表示,得函数48cos,利用导数求函数单调性,并确定最值【详解】设，则，总热量单位当时，取最大值，此时米，总热量最大9（单位）.答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.（2）总热量单位，令，即，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，此时米.答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，同时考查利用二次函数和导数求函数的最值问题.18.设f(x)=xln xax2+(2a1)x，aR.（）令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；（）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.【答案】（）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单

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