湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试题（附解析）

1、- 1 - 湖南省三湘名校教育联盟湖南省三湘名校教育联盟 2018-2019 学年上学期高二期中考试学年上学期高二期中考试 理科数学理科数学 一：选择题。一：选择题。 1.已知集合，且，则集合B可以是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合，或，由得出 B 【详解】解：，或，且； 符合条件的只有 B 故选：B 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2.已知命题p：，则为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定为特称命题可得答案 【详解】解：命题 p：，则为， 故选：D 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全 特 称命题的否定方法是解答的关键 3.已知 ， 均为单位向量，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 - 2 - 【分析】 由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解 【详解】解：， 均为单位向量，且， ， ， 则， 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题 4.已知等差数列的前n项和为，则 A. 3 B. 6 C. 9 D

2、. 12 【答案】B 【解析】 分析：把已知与求值式全部用首项 和公差 表示， 详解：由题意， 故选 B 点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大 多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出， 否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论 5.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点， 则的周长为 A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义即可得到结果 - 3 - 【详解】椭圆， 可得， 三角形的周长， 所以：周长， 由椭圆的第一定义， 所以，周长 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考 查 6.已知数列满足，则 A. 2n B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式 【详解】数列满足， 可得：，所以数列是等差数列，可得：， 可得， 故

3、选：D 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力 7.设a、，原命题“若，则” ，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的 是 A. 逆命题与否命题均为真命题 B. 逆命题为假命题，否命题为真命题 - 4 - C. 逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D. 否命题为假命题，道否命题为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】 判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题 的否命题是真命题 【详解】解：原命题：“设 a、，原命题“若，则” ，是假命题， 原命题的逆否命题是假命题； 原命题的逆命题：“若，则” ，是真命题， 原命题的否命题是真命题 故选：A 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8.下列函数中，最小周期为 且为偶函数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论 【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除 A； 由于为非奇非偶函数，故排除 B； 为偶函数，

4、但它的最小正周期为，故排除 C； 为偶函数，且它的最小正周期为，故 D 满足条件， 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题 - 5 - 9.要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论 【详解】解：函数， 故将函数的图象向右平移 个单位，可得的图象， 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的 名称，是解题的关键，属于基础题 10.当时，恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出 【详解】解：当时，不等式不恒成立， 由二次函数的性质可知：，且，解得， 时，不恒成立， 综上 故选：C 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 11.已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP

5、 - 6 - 的斜率之积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的 关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可 【详解】设，点，椭圆椭圆E：， 椭圆的离心率为， ，则，所以， 点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：， 故选：C 【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题 12.在中，若，则角A的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据即可得出，从而得出， 进而得出，从而可求出A的最大值 【详解】； ， ； ，且； - 7 - 的最大值为 故选：A 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及 的应用 二：填空题。二：填空题。 13.已知等比数列的前n项和为，则_ 【答案】3 【解析】 【分析】 根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出 【详解】解：设等比数列的公比为 q，由，可得，解得， ， 故答案为：3 【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项

6、公式以及前 n 项和公式的应用问题，属于基础题 14.已知向量，且，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知求得，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值 【详解】解：由，且， 得，即 ， 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值， - 8 - 是基础题 15.在中，过点A作AB的垂线交BC于点D，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，可得出，由向量三角形法则可得出，再结合，根据平面 向量基本定理，得出x，y的值，即可得出答案 【详解】在中， ， 过点A作AB的垂线交BC于点D如图 ， ， 且， 所以 ， ， 又， 故答案为 - 9 - 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题 16.如图，中，为钝角，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若 ，则的面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x和的值，再计算以 及、和的值，从而求得的面积 【详解】如图所示， 设， 则， 由余弦定理得， 解得，； ； ， ， ， ， 即的面积为 【点睛】本题考查了

7、解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题 三：解答题。三：解答题。 - 10 - 17.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求角C； 若，的面积为，求的周长 【答案】 （1） （2）20 【解析】 【分析】 由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合 范围，可求 C 的值； 由及三角形面积公式可求，由余弦定理可求的值，即可解得的周长 【详解】解：， 由正弦定理可得：， 可得：， ， 解得：， ， ， 由及已知可得：的面积为，解得， 由余弦定理可得：，可得：，解得：， 的周长 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18.记为数列的前n项和，已知， 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和 【答案】 （1）（2） 【解析】 - 11 - 试题分析：（1）由 与之间的关系求出通项公式；（2）求出，再用裂项相消法求出前 n 项和。 试题解析：（1）由，得 当时，； 当时， . 所以. （2） ， 所以 . 19.已知x，y满足约束条件 若取得最小值的

8、最优解有无数多个，求m的值； 求的取值范围 【答案】 （1）或；（2）. 【解析】 【分析】 利用约束条件画出可行域，利用目标函数的最优解求解即可； 利用目标函数的几何意义，转化求解即可 【详解】解：作出约束条件的可行域如图：由图形可知：，； 取得最小值的最优解有无数多个，若，则；若，则，故； 所以或 的几何意义是可行域内的点与的距离的平方， - 12 - 由图可得：； 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键， 考查数形结合以及计算能力 20.已知数列的前n项和为，等差数列满足， 求数列，的通项公式； 证明： 【答案】 （1），；（2）见证明 【解析】 【分析】 由数列的递推式：时，时，化简计算可得；再由等差数列的通项公式， 可得首项和公差，即可得到 ； 由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证 【详解】， 可得时，可得； 时， 即有， 可得； 等差数列的公差设为d， 即有， 解得，可得； 证明：设， ， - 13 - 相减可得 ， 化简可得， 由，可得 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数

9、列的递推式和等差数列的通项公式，考查数列的错位 相减法求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题 21.设函数 求的单调递减区间及其图象的对称轴方程； 若在区间上的值域为，求实数a的取值范围 【答案】 （1）单调递减区间为，对称轴方程为；（2） 【解析】 【分析】 利用恒等变换公式将化为，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果； 利用正弦函数的图象可得实数a的取值范围 【详解】解： ， 令，则， 的单调递减区间为， 由得 图象的对称轴方程为 ， 结合正弦函数图象可知：，解得， 实数 a 的取值范围是 - 14 - 【点睛】函数的性质 (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴 (4)由求增区间;由求减区间. 22.已知椭圆C：的一个顶点为，且经过点 求椭圆C的方程； 过点A作斜率为的直线l交C于另一点D，交y轴点E，P为线段AD的中点，O为坐标原点，是否 存在点Q满足对于任意的都有？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】 由由题意可得，解得，由此能求出椭圆方程； 直线的方程为，与椭圆联立，得，由此利用韦达定理、中点坐 标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标 【详解】由题意可得，解得， 则椭圆C的方程为， 直线的方程为，得， 联立椭圆方程，消元化简得， ， ， ， - 15 - ， 又点P为AD的中点， 则， 假设存在定点使得，则， 即恒成立， 恒成立， ，即， 因此定点Q的坐标为 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真 审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题 - 16 -

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