安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理）试题（解析版）

1、1 安徽省蚌埠市安徽省蚌埠市 20192019 届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理）试届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理）试 题题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题）小题） 1.已知全集2，3，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3， 【答案】B 【解析】 【分析】 由补集的定义求得得，进而由交集的定义可得结果 【详解】因为全集，集合， 则， 又因为集合， 所以 ； 故选 B 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合. 2.已知复数 z 满足，其中 i 是虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，从而得答案 【详解】, , 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限 故选 A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题复数是高

2、考中的必考知识， 主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复 2 数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简， 防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.如图是一个边长为 3 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 1089 个 点，其中落入白色部分的有 484 个点，据此可估计黑色部分的面积为 A. 4B. 5C. 8D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可 【详解】由题意在正方形区域内随机投掷 1089 个点， 其中落入白色部分的有 484 个点， 则其中落入黑色部分的有 605 个点， 由随机模拟试验可得：，又， 可得，故选 B 【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主 要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解. 4.已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为 A. 1B. C. 2D. 【答案】C 【解析

3、】 【分析】 根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点， 3 所以， ， 联立、可得：， 该双曲线的虚轴长 2，故选 C 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性 质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、 虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 5.已知实数，则 a，b，c 的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据的范围和指数函数性质，估算出的范围，从而可判断大小. 【详解】解：， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数性质的应用，属于中档题 6.设向量，且，则 m 等于 A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出关于的表达式，解方程即可得结果. 【详解】由题意，可知： ， ， ， 4 ，解得： 故选 B 【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示以及向量的模计算，意在考查对基础知识的

4、掌握与应用，属 基础题 7.将的图象向右平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 的图象，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的 倍，再把 所得图象向左平移 个单位，即可得到的图象，得解 【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的 倍得到， 再把所得图象向左平移 个单位，得到， 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题 8.某电商为某次活动设计了“和谐” 、 “爱国” 、 “敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击 4 次，每次都 会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规 定依次点击了 4 次，直到第 4 次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为 A. 9B. 12C. 18D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，分析可得甲第 4 次获得的红包有 3 种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的 2 种，分析前三 次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案 【详解】解

5、：根据题意，若员工甲直到第 4 次才获奖，则其第 4 次才集全“和谐” 、 “爱国” 、 “敬业”三种红 包， 则甲第 4 次获得的红包有 3 种情况， 5 前三次获得的红包为其余的 2 种，有种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为种； 故选：C 【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，注意“直到第 4 次才获奖”的含义还考查了分类思想， 属于中档题. 9.已知，分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且，当时， （b 为常数） ，则 A. 3B. 1C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由奇函数的性质可得：，对 赋值为 0 即可求得，再对 赋值为 1 即可求得，再对 赋值为即可解决问题。 【详解】解：，分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且， 所以， ，得， 则， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，考查了赋值法 及计算能力，属于中档题。 10.已知，是椭圆的左右焦点，点 M 的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率 为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先推导出轴，从而，点关于的角平分线 对称的

6、点 在线段的延长 线上，求得，可得 的坐标，由此能求出线段的中点,进而可得结果 6 【详解】，是椭圆的左右焦点， ， 轴， ， 点关于的角平分线 对称的点 在线段的延长线上， 又， ，线段的中点， 的角平分线 的斜率故选 A 【点睛】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，考查了斜率公式的应用，意在考查综 合应用所学知识解答问题的能力，是中档题 11.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，三棱锥表面上的点 M 在俯视图上的对应点为 A，三棱锥表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则线段 MN 的长度的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 画出几何体的直观图，判断的位置，然后结合直观图可求线段的长度的最大值 7 【详解】 由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形， 一条侧棱与底面垂直（平面） ， 为几何体的直观图如图，在上，重合， 当与 重合时， 线段的长度的最大值为 故选 D 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问 题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观

7、察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键， 不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位 置对几何体直观图的影响. 12.已知函数，若对，均有，则实数 a 的最小值为 A. B. C. 1D. e 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数与方程的关系分别转化为两个函数图象间的关系，利用数形结合求出 的取值的临界值，由此对 的 取值范围分类讨论的正负，即可判断是否在均成立，问题得解。 【详解】解：由，得，设，则直线过定点， 8 当时，即，当时，即， 当直线经过 B 时，即， 当直线经过 C 时，即， 由得， 设，过定点 则，即过的切线斜率， 当时，即， 当直线经过 D 时，即， 当时，即此时，要使对，均有， 则，即，则，则此时， 此时， 当时，即此时，要使对，均有， 则，即，则，则此时， 此时要求且，此时 无解， 9 当时， ，则对，均有，但可取正值也可取负值，不满足 对，均有， 综上满足条件的 范围是， 则实数 的最小值为 1， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，利用数形结合分别转化为两个函数图象的高低是解决本题的关

8、 键，还考查了分类思想及计算能力，综合性较强，难度较大，属于难题。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题）小题） 13.二项式展开式中的常数项为_ 【答案】60 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【详解】解：的展开式的通项公式为， 令，求得，所以展开式中常数项为 故答案为：60 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础 题 14.若 x，y 满足约束条件，则的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为 . 10 【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题 目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线； 然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.

9、 15.如图所示，正方体的棱长为 2，E，F 为，AB 的中点，M 点是正方形内的动点， 若平面，则 M 点的轨迹长度为_ 【答案】 【解析】 【分析】 取的中点，的中点 ，连接， 可得：四边形是平行四边形，可得 .同理可得 可得面面平行，进而得出点轨迹 【详解】如图所示，取的中点 ，的中点 ，连接， 可得：四边形是平行四边形，. 11 同理可得： 平面平面， 点是正方形内的动点，若平面. 点在线段上 点的轨迹长度故答案为 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理与线面平行的判断,属于中档题证明线面平行的常用方法：利 用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何 体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利 用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 16.如图，平面四边形 ABCD 中，则的面积为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 在中，利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得的外接圆半径，即求得 AC，从而求 得 AD，AB，即可求得的面积 【详解】解：， ， 在中， 由余弦定理可得， 则的外接圆半径 因为的外接圆就是四边形的外接圆，就是其直径， ， 12 的面积为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理，三角形的面积计算，考查计算能力及转化能力，属于难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题）小题） 17.已知数列满足：， 设，证明：数列是等比数列； 设数列的前 n 项和为，求 【答案】 （1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）证明为常数即可。 （2）利用条件（1）可求得，利用分组求和方法即可求解。 【详解】解：数列满足：， 由，那么， ； 即公比， 数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 由可得， 那么数列的通项公式为： 数列的前 n 项和为 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及等比数列的通项公式和前 n 项和公式，还考查了等差数列的前 项和

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