北京市顺义区2019届高三第二次统练理科数学试题（解析版）

1、1 顺义区顺义区 2019 届高三第二次统练数学试卷（理科）届高三第二次统练数学试卷（理科） 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1.已知全集，集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解出集合 ，根据补集定义求得结果. 【详解】 或 即： 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题. 2.若实数满足则的最小值是 A. B. C. 0D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的区域，通过平移得到取得最小值的点，代入求解出结果. 【详解】由约束条件可得如下可行域（阴影部分）： 令，可变为：，可知 的最小值即为直线在 轴截距的最小值 平移可知，当直线经过下图中点 时， 最小 2 解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查线性规划中的型的最值问题，属于基础题. 3.在等比数列中，若，则= A. 32B. 16C. 8D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由和可求得，从而求得结果. 【详解】为等比数列 本题正确选项： 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题

2、. 4.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是 A. 12B. 2C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 3 根据三视图将几何体还原，再分别求解各侧面面积，求得表面积. 【详解】由三视图还原可知几何体是如下图所示的直三棱柱： 则， 表面积 本题正确选项： 【点睛】本题考查三视图还原、空间几何体的表面积求解，关键在于能够通过三视图确定几何体为直三棱柱， 属于基础题. 5.过原点作圆（ 为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将参数方程化为普通方程，可得圆心与原点之间距离和半径，先求解出一条切线与 轴所成角，再得到所求 角. 【详解】由得圆的方程为： 则半径为： ；圆心与原点之间距离为： 设一条切线与 轴夹角为 ，则 根据对称性可知，两条切线所成锐角为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的相切关系，关键在于能够通过相切的条件， 得到半角的正弦值. 4 6.已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则 A. 若 m，则 m； B. 若 m，n，则 mn； C. 若 m，n，

3、m，n，则 ； D. 若 m，n，则 mn. 【答案】B 【解析】 【分析】 依次判断各个选项，排除法得到最终结果. 【详解】在如下图所示的正方体中依次判断各个选项： 选项：面面，面，此时面，可知 错误； 选项：，则 内必存在直线 ，使得；又，则，可知，可知 正确； 选项：取和中点 和 ，可知面，面，面，此时面 面，可知 错误； 选项：面，面，此时，可知 错误. 本题正确选项： 【点睛】本题考查空间中的线线、线面关系，对于此类问题可通过定理来证明，也可以举出反例，用排除法 得到正确结果. 7.“或” 是“函数存在零点”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 通过存在零点求解出 的解集，通过集合间的关系可判断出结果. 【详解】存在零点有根 5 当时，不合题意 当时， 或 可知解集是或的子集 “或”是“函数存在零点”的必要不充分条件 本题正确选项： 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 8.已知集合，若对于 ， ，使得成立，则称集合 是“互垂点集” 给出下列四个集合： ； ； ；

4、 其中是“互垂点集”的集合为 A. ,B. ,C. , D. , 【答案】D 【解析】 【分析】 首先判断和，通过反例可知不是“互垂点集” ，由此可排除三个选项. 【详解】设， 为上任意一点 ：当时，需存在使得：，即，此时 无解，可知不是“互垂点集” ， 可排除 和 选项； ：当时，需存在使得：，即，无意义，可知不是“互垂点集” ， 可排除 选项； 本题正确选项： 【点睛】本题考查对于新定义的理解，简单方式为通过排除的方法得到正确选项，也可以利用函数的值域来 确定和为“互垂点集” ，但判断过程较繁琐；对于选择题，合理的采用排除法可极大的减少运算量. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9._ 【答案】1+ 【解析】 6 【分析】 分子分母同乘，化简得到结果. 【详解】 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 10.已知向量 a，b 满足| a |=1，| b |=2，且，则 a 与 b 的夹角为_ 【答案】 【解析】 【分析】 通过得到关于的方程，从而得到 . 【详解】设 和 夹角为 () 本题正确结果： 【点

5、睛】本题考查利用向量数量积求解向量夹角的问题，属于基础题. 11.设双曲线 经过点（4,0） ，且与双曲线具有相同渐近线，则 的方程为_；渐近线方程 为_. 【答案】 (1). (2). . 【解析】 【分析】 求解出双曲线的渐近线方程；由 过可得 ，再利用求得 ，从而得到 的方程. 【详解】由可得渐近线方程为： 双曲线 过可知 焦点在 轴上，且 则 的方程为： 本题正确结果：； 【点睛】本题考查双曲线的几何性质、标准方程的求解，属于基础题. 12.已知 为锐角，则_. 【答案】. 7 【解析】 【分析】 由可求得，进而得到，则，求得结果. 【详解】 为锐角 又 由诱导公式可得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题. 13.“当时，能使不等式”成立的一组正数的值依次为_ 【答案】 ， （答案不唯一） 【解析】 【分析】 当时，底数以 为分界的对数函数分别大于零和小于零，由此只需，即可. 【详解】当时，若，则；若，则 因此可任取，均能使得不等式成立 本题结果不唯一，可取， 【点睛】本题考查对数函数图象问题，只要找到一组符合题意的答案即

6、可，属于基础题. 14.、分别为椭圆 ： 的左、右焦点， 是 上的任意一点. 则 的最大值为 _，若，则的最小值为_. 【答案】 (1). 9 (2). 4 【解析】 【分析】 通过椭圆定义表示出，进而将变为二次函数问题，通过的范围得到最大值；再 将表示为，通过图形可知当 在线段上时取得最小值，求解得到结果. 【详解】由可得：， 由椭圆定义可知 8 又，即 当时，取最大值，最大值为： 又（当且仅当 在线段上时取等号） 【点睛】本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从 而变成函数和几何问题来进行求解. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.在ABC 中，b=8，, （）求 及的值； （）求边上的高 【答案】 （）,（） 【解析】 【分析】 （）根据余弦定理求出 ，再利用正弦定理求出；（）在直角三角形中直接利用求解出高. 【详解】 （）在中，由余弦定理得 所以 由正弦定理得： （）在中，边上的高为 【点睛】本题考查利用正

7、弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题. 16.如图，在四棱锥中，等边三角形所在的平面垂直于底面， ，是棱的中点 （）求证：平面； （）求二面角的余弦值； （）判断直线与平面的是否平行，并说明理由 9 【答案】 （）见解析 () （）直线与平面不平行 【解析】 【分析】 （）根据面面垂直的性质定理直接证得结果；（）建立空间直角坐标系，求解出平面和平面的 法向量，然后求出法向量夹角的余弦值，由二面角为锐二面角，可得到所求二面角的余弦值；（）求解平 面的法向量，可知与法向量不垂直，由此得到结论为不平行. 【详解】 （）证明：平面平面，平面平面，平面且 平面 （）取的中点 ，连结， 又 四边形是平行四边形 平面 建立如图所示空间直角坐标系 则， ， 设为平面的一个法向量，由 得令，得，所以 因为 轴垂直于平面，所以取平面的一个法向量 10 所以二面角的余弦值为 （）直线与平面不平行 理由如下：， 设为平面的一个法向量，由 得令，得，所以 所以与 不垂直，又因为平面 所以直线与平面不平行 【点睛】本题考查面面垂直的性质、空间向量法解二面角、线面位置关系的判定问题.采用空间向量法解决 二面角

8、问题的关键是能够明确二面角大小等于两平面法向量所成角或其补角. 17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高 低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标 准如下： 下表记录了我国在改革开放后某市 A，B，C，D，E 五个家庭在五个年份的恩格尔系数. 家庭恩格尔系数（%） 年份 ABCDE 1978 年57.752.562.361.058.8 1988 年54.2 48.351.955.452.6 1998 年44.7 41.643.549.047.4 2008 年37.936.529.241.342.7 11 2018 年28.627.719.835.734.2 （）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在 2008 年和 2018 年都达到了“富裕” 或更高生活质 量的概率； () 从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在 2018 年达到“富裕”或更高生活质量的个数为 ， 求 的分布列； () 如果将“贫穷”， “温饱”， “小康”， “相对富裕”， “富裕”， “极

9、其富裕”六种生活质量分别对应数值： 0，1，2，3，4，5. 请写出 A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最 小的家庭（结论不要求证明）. 【答案】 （） ()见解析()方差最大： ；方差最小： 【解析】 【分析】 （）根据古典概型，可求得结果；() 满足超几何分布，根据超几何分布公式求得概率，从而得到分布 列；()利用数字列出统计表格，方差大的数值波动大；方差小的数值波动小；由数值波动情况可确定方差 最大和最小的家庭. 【详解】 （）记“在年和年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件 因为在年和年都达到了“富裕” 或更高生活质量的只有家庭 所以 () 的可能取值为 ， 的分布列为： ()由题意可得可得如下图表： 家庭年年年年年 12 生活质量方差最大的家庭是 ，方差最小的家庭是 【点睛】本题考查古典概型、随机变量的超几何分布、方差问题，属于常规题. 18.设函数. （I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程； （II）若有极小值 2，求 . 【答案】 （I）（II） 【解析】 【分析】 （I）代入求得 ，得到函数解析式，求导得到，即切线斜率；利用点斜式得到切线方程；（II）求 导后经讨论可知当时存在极小值，求得极小值，令，解方程得到 . 【详解】 （I）因为点在曲线上，所以 又，所以 在该点处曲线的切线方程为，即 （II）有题意知：定义域为， （1）当时， 此时在上单调递减，所以不存在极小值 （2）当时，令可得 列表可得 极小值 13 所以在上单调递减，在上单调递增 所以极小值为： 所以 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值的问题，关键在于能够通过求导确定函数的单 调性，从而根据单调性得到符合题意的极值点，从而问题得到求解. 19.已知为抛物线 上两点， 的纵坐标之和为 4， 为坐标原点. （I）求直线的斜率；

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