北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习数学（文）试题（解析版）

1、1 20192019 北京朝阳高三一模数学（文）北京朝阳高三一模数学（文） 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 4040 分）分） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项求的一项 1.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可. 【详解】由题意可得：， 则复数 z 对应的点为，位于第四象限. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 2.设实数满足不等式组，则的最大值是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最 后求解目标函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即：，其中

2、 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 2 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 B 处取得最大值， 联立直线方程：，可得点的坐标为：， 据此可知目标函数的最大值为：. 本题选择 B 选项. 【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值 最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴 上截距最小时，z 值最大. 3.已知集合，且，则集合 可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由可知，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可. 【详解】由可知， 对于 A：，符合题意. 对于 B：，没有元素 1，所以不包含 A； 对于 C：，不合题意； D 显然不合题意， 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3 4.已知中，三角形的面积为，且，则（ ） A. B. 3C. D. - 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角形面积公式

3、可得4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可. 【详解】依题意可得：，所以4， 由余弦定理，得：， 即：， 据此可得：. 结合可得3. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 5.已知,给出下列条件：； ； ，则使得成立的充分而不必要条件是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可. 【详解】由，得：，不一定有成立，不符； 对于，当时，有，但不成立，所以不符； 对于，由，知 c0，所以，有成立， 当成立时，不一定有，因为 c 可以为 0，符合题意； 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 ） ，则该三棱锥的体积为（ ） 4 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可. 【详解】由三

4、视图可知，在棱长为 2 的正方体中，其对应的几何体为棱锥， 该棱锥的体积：. 本题选择 D 选项. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常 用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 7.已知圆,直线,若直线 上存在点 ，过点 引圆的两条切线,使得,则实数 5 的取值范围是（ ） A. B. , C. D. ） 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合几何性质可知点 P 的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半 径，据此求解关于 k 的不等式即可求得实数 k 的取值范围. 【详解】圆 C（2,0） ，半径 r，设 P（x，y） ， 因为两切线，如下图，PAPB，由切线性质定理，知： PAAC，PBBC，PAPB，所以，四边形 PACB 为正方形，所以，PC2， 则：，即点 P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2 为半径的圆. 直线过定点（0，2） ，直线方程即， 只要直线与 P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的

5、距离小于等于半径， 即：，解得：， 即实数 的取值范围是）. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少有一天开车上班的职工 人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】B 【解析】 6 【分析】 将原问题转化为 Venn 的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示， （a+b+c+x）表示周一开车上班的人数， （b+d+e+x）表示周二开车上班人数， （c+e+f+x） 表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数， 则有： ， 即， 即，当 b=c=e0 时，x 的最大值为 6， 即三天都开车上班的职工人数至多是 6. 【点睛】本题主要考查 Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力. 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110 分）分） 二

6、、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.把答案填在答题卡上把答案填在答题卡上 9.已知平面向量,若,则_. 【答案】 【解析】 【分析】 由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定 x 的值即可. 【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：. 故答案为： 7 【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题. 10.执行如图所示的程序框图，输出的 值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体 2 次得到输出值，据此计算 输出值即可. 【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下： 首先初始化数据：， 此时满足，执行， 此时满足，执行， 此时不满足，输出. 故答案为： 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构 (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题 (3)按照题目的要求完成解答并验证 11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_ 【答案】1 8 【解析】 【分析】 由题意可知，双曲线的

7、右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求 解距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为， 渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线的距离为：. 故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线若，则在内无零点” 为假命题的一个函数是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可. 【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示， 该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点， 故该函数使得原命题为假命题. 【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理， 否则可能会出现错误. 9 13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天” “祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图 1 所示） ，上 层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图 2 所示） 上层坛从第一环至第九环 共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九

8、环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面 形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石块数是_； 上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由题意可知每环的扇面形石块数是一个以 9 为首项，9 为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石 块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可. 【详解】第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块， 则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以 9 为首项，9 为公差的等差数列， 所以，an9（n1）99n， 所以，a27927243， 前 27 项和为：3402. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 14.若不等式 (且且)在区间内有解，则实数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论 1 和 0 1 两种情况确定实数 的取值范围即可. 【详解】，即，在区间内有解， 10 分

9、别画出的图象. （1）当 1 时，由图可知，当 x2 时，即时， ，在区间内有解， 所以，. （1）当 0 1 时，由下图可知，在区间内有解， 所以，. 所以，则实数 的取值范围是. 【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力. 11 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.已知函数. （1）求的值及的最小正周期； （2）若函数在区间上单调递增，求实数 的最大值. 【答案】 （1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为 的形式，然后由最小 正周期公式确定函数的最小正周期即可； （2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，据此结合题意可得实数 的最大 值. 【详解】 （1）由已知 . 因为 ， 所以函数的最小正周期为 （2）由得，. 所以，函数的单调增区间为， 当时,函数的单调增区间为， 若函数在区间上单调递增，则， 所以实数 的最大值为 . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 16.在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）设,数列的前 项和为，若，求 的最小值. 【答案】 （1）；（2）5. 12 【解析】 【分析】 （1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可. （2）由题意可得，分组求和可得 ，据此确定 的最小值即可. 【详解】 （1）由数列为等比数列，且,，得，解得. 则数列的通项公式,. （2） . 当时，所以； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以， 的最小值为 . 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁

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