_复数的几何意义_的教学设计与教学反思.pdf
5页1、5复数的几何意义6的教学设计与教学反思 芮玉贵 ( 南京中华中学 210006) 1 教学过程实录 1. 1 以史设疑, 引入课题 师: 1545 年出现了负数开方问题. 到了 1637 年, 笛卡尔也认为负数开方是/ 不可思议的0, 称这 样的数为/ 虚数0(虚数一词沿用至今). 1799 年高 斯给出了复数的几何解释, 并有了广泛应用, 人们 接受了复数. 你猜猜看, 高斯是怎样给出复数的几 何解释的? 1. 2 类比联想, 探索复数的几何意义 师: 好象猜不出来, 是吧? 那怎么办啊? 其实我们人类研究新问题, 研究未知问题 的一个最基本方法, 就是/ 由已知研究未知0, 也就 是利用已知的东西研究未知东西. 我们已经知道, 复数是由实数扩充得来的, 那么, 大家想高斯会怎么研究呢? 要研究复数的几何意义, 利用什么已知来 研究呢? 既然复数由实数扩充得来, 那能不能类比 实数的几何意义来研究呢? 师: 实数有什么几何意义呢? 生: 实数可以用数轴上的点来表示. 师: 为什么实数可以用数轴上的点来表示呢? 实数与数轴上的点是什么一种关系呢? 生: 一一对应 师: 对, 实数与数轴
2、上的点一一对应. 这个/ 一 一对应0重要啊! 正是由于一一对应, 我们才可以把每一个实 数, 用数轴上的点(几何意义) 来表示. 数轴上的点 就是实数的几何模型, 也就是实数的几何意义之 一. 这样所有实数都在数轴上了, 那么, 实数集的 几何模型是什么? 生: 数轴. 师: 实数还有其他几何意义吗? 生: 在解析几何初步和单位圆三角函数线中, 讲过有向线段OA 的数量OA 是实数, 这算不算是 实数的几何意义呢? 师: 可以. 如果给你一个实数 a, 那实数 a 的 绝对值/ | a| 0是不是也有几何意义? 是什么? 生: 表示实数 a 在数轴上的对应的点 A 到原 点O 的距离. 师: 刚才回顾了与实数有关的几何意义, 有关实数的几何意义有关复数的几何意义 1 实数可以用数轴上的点来表示 实数集的几何模型: 数轴 1 2 实数 a可以用有向线段OA 的数量 OA 表示 实数 a 绝对值的几何意义: 实数 a 在数轴上所对应的 点 A 到原点 O 的距离 2 那么, 你能否想象一下怎么来刻画复数的几 何意义? 能不能用类比的方法从几何的角度来解 释复数? 请同学们先独立思考, 然
3、后小组讨论, 大 家分享研究成果, 并解释研究成果的合理性. 师: 对复数的几何意义, 你们各小组得到什么 结论? 为什么? 生: 复数的几何意义是平面直角坐标系中的 点 Z(a, b) . 因为每个复数 z= a+ bi( a, b I R)都可 以看作是一个/ 有序实数对(a, b)0, 实数对(a, b) 与直角坐标系中的点 Z(a, b) 是一一对应的. 这 样, 复数 z= a+ bi (a, bI R)就与平面直角坐标系 32数学通报 2010 年 第 49 卷 第 9 期 中点 Z(a, b)一一对应. 所以, 复数 z = a+ bi ( a, b I R)就可以用平面直角坐标系中的点 Z( a, b) 来 表示. 师(板书图示): 很好, 在平面直角坐标系 xOy 中, 以复数 z = a+ bi(a, b I R) 的实部为横坐标, 虚部为纵坐标, 就确定了点 Z( a, b), 我们可以 用 点 Z( a, b)来表示复数 z= a+ bi , 这就是复数的 几何意义, 也就是复数的几何模型. 师: 类比实数集的几何模型是数轴, 你们有什 么发现? 生: 复数集的
4、几何模型是平面直角坐标系所 在的平面. 师: 我们把建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复数平面, 简称复平面(也称高斯平面). 那么 x 轴上的点和y 轴上的点 所表示的复 数分别有什么特点? 生: x 轴上的点表示的是实数, y 轴上的点表 示的是纯虚数. 师: 他说的有没有缺陷? 生: 有缺陷. 应该是: y 轴上的点除原点外, 表 示的都是纯虚数. 师: 哦, 实数对应的点都在 x 轴上, 我们给 x 轴起个名字称为实轴. 那么虚轴呢? 生: y 轴称为虚轴. 师: 还有什么发现? 大家想想看, 我们还用有 序实数对(a, b)表示过什么? 生: 平面向量 师: 表示哪个向量呢? 生: OZ 师: 那为什么复数 z 能够用向量OZ表示呢? 生: ( 学生回答, 教师板书, 用图表示更清晰) 师: 复数 z= a+ bi 与平面向量OZ一一对应, 所以就可以用向量表示复数 z= a+ bi. 由这样的一种关系出发呢, 于是我们对复数 又产生了一个新的认识. 什么新的认识呢? ) 复数可以看作是向 量, 复数可以用向量表示. 当然, 我们还应该注意, 复数(0, 0)就与零向量对
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